$P(x)P(2x)\cdots P(nx) = 28x^n​+ k_1\cdot x^{n−1}+ ....... + 128$ eşitliğine göre $P(-1)$ değeri kaçtır?

Question

$n$ bir doğal sayı olmak üzere$$P(x)P(2x)\cdots P(nx) = 28x^n​+ k_1\cdot x^{n−1}+ ....... + 128$$ eşitliğine göre $P(-1)$ değeri kaçtır?

Ben $P(x) = ax +b$ şeklinde düşündüm ve $b^n = 128$ ve $a^b \cdot n! = 28$ geldi ama burdan bi sonuca varamadım.

Comments

Merhaba, sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız.

Önemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.

Ek olarak: Resimle soru paylasmamamiz da gerekli. Sorunuzu yazi olarak ifade edebilirsiniz.

Answer 1

Ilk olarak $P$ polinomunun derecesini bulmaya calisalim. $\text{der}(P)=d$ dersek esitligin sol tarafinin derecesi $n\cdot d$ olur. Sag tarafin derecesi de $n$ oldugundan $$n\cdot d=n \;\;\; \text{ yani } n\cdot (d-1)=0$$ olur. 

Su an iki durum soz konusu $n=0$ ya da $d=1$ olmali. $n=0$ olamayacagini gormek kolay. Demek ki $d=1$ olmali.

O zaman bir $a\ne 0$ icin $$P(x)=ax+b$$ olmali. Bu durumda $$\prod_{k=1}^nP(kx)=\prod_{k=1}^n(akx+b)=a^n\cdot n! \cdot x^n+\cdots+b^n$$ olur. Buradan su bilgileri elde ederiz: $$b^n=128= \;\;\;\;\text{ ve } \;\;\;\;a^n\cdot n!=28$$ esitlikleri bulunur. 

$n=1$ icin $$b=128 \;\;\;\; \text{ ve } \;\;\;\;a=28$$ saglanir.

$n=2$ icin $$b=8\sqrt{2} \;\;\;\; \text{ ve } \;\;\;\;a=\sqrt{14}$$ saglanir.

$n=3$ icin $$b=2^{7/3} \;\;\;\; \text{ ve } \;\;\;\;a=(14/3)^{1/3}$$ saglanir.

$\vdots$

Dolayisi ile $P(-1)=-a+b$ bu sartlar altinda birden fazla deger alabilir. 

Comments

Evet ben de birden fazla diye düşünmüştüm emin olmak istedim teşekkürler :)

---

$n \in \mathbb{N}$ olduğu için $1\leq n\leq 4$ olur. Yani $4$ değer vardır. ($n! \leq 28$)

---

$n=5$ icin de cozum bulabilirsin. Genel olarak her $n \in \mathbb Z^+$ icin $$b=128^{1/n}\;\;\;\text{ ve }\;\;\; a=(28/n!)^{1/n}$$ olur ve her $n\in \mathbb Z^+$ icin pozitif gercel sayilardir.

---

$a$ ve $b$ ye doğal sayıdır koşulu verilmediğini farketmemişim hocam:(