x ve y birer tam sayı olmak üzere 8x+7y ifadesi 13 ile tam bölünebildiğine göre aşagıdakilerden hangisi kesinlikle 13 e tam bölünebilir?

Question

Soruda ben 7(x+y) +x şeklinde ayırdım ve şu sonuca vardım yanlışsa lütfen düzeltin 7(x+y) 7 ye tam bölünür öyle isee toplamları 13 e bölünen bir sayı için x de 6 a bölünmelidir  dedim ama daha sonra ne yapacağımı bulamadım.

Comments

Bence; $7(x+y)$ değeri $7$ ile tam bölünüyor, $x$ de $6$ ile tam bölünüyorsa bu $7(x+y)+x$ toplamının  daima $13$ ile tam bölündüğünü göstermez. Örneğin: $55=7.(6+1)+6=$ gibi.

---

$13(x+y)$ zaten $13$e tam bolunur degil mi? Cunku $x+y$ bir tam sayi. Bunu bu soruda kullanabilirsin.

Mesela $13(x-y)$ ya da $13(2x+3y)$... ya da $a$ ve $b$ tam sayilari icin $13(ax+by)$ de $13$e tam bolunur.

Bir onceki paragrafta sunu demek istedim: her zaman bir tanesi is gorecek diye bir durum soz konusu degil. Cesit cesit secenekler var.

Answer 1

$a,b,k,p,t$ birer tam sayı olsunlar. Bize daha genel olarak  $8x+7y=p.k $ olarak verilmiş olsun.  Biz  $p.(x+y)$'nin daima $p$ ile tam bölündüğünü biliyoruz. Hatta Sercan Hocanın belirttiği gibi $a,b$ tam sayıları için $p.(ax+by)$ daima $p$ ile tam bölünecektir. 

Öte yandan $p$  ile tam bölünen iki sayının belli iki tam sayı ile çarpımlarının toplamı da, farkı da $p$ ile tam bölünecektir. Dolayısıyla $p.(ax+by)\pm(8x+7y)=p.(ax+by)\pm p.k=p.(ax+by\pm k)$ da $p$ ile tam bölünecektir. Buradan $p,a,b,k$ tam sayılarına özel değerler verilerek;

$p=13,a=1,b=1,k=1$ için  $13.(1.x+1.y)-(8x+7y)=5x+6y$ ve $13.(1.x+1.y)+(8x+7y)=21x+20y$,

$p=13,a=2,b=3,k=2$ için $13.(2x+3y)- 2(8x+7y)=10x+15y$ ve $13.(2x+3y)+ 2(8x+7y)=42x+53y$ gibi $13$ ile tam bölünen bir çok sonuç bulunabilir.