Elimizde $f(x)=x^2-4x+c$ parabolü ve $y=2x+5$ doğrusu var. Bu parabol ile doğrunun kesim noktaları $$x^2-4x+c=2x+5$$
$$\Rightarrow$$
$$ x^2-6x+5-c=0$$
denkleminin kökleri olacaktır. Bu denklemin köklerine $a$ ve $b$ dersek sorunuzun cevabı $$\frac{f(a)+f(b)}{2}=\frac{a^2-6a+c-5+b^2-6b+c-5}{2}=\frac{a^2+b^2-6(a+b)+2c-10}{2}\ldots(1)$$
olacaktır. $a$ ve $b$ $$x^2-6x+5-c=0$$
denkleminin kökleri olduğundan
$$a+b=6 \,\ \text{ve} \,\ a.b=c-5$$ olur. Geriye birşey kalmadı. Bunları $(1)$ nolu denklemde yerine yazarsanız sonucu kolayca bulabilirsiniz.
Not: $a+b=6 \,\ \text{ve} \,\ a.b=c-5$ olduğundan $a^2+b^2$'yi $c$ cinsinden bulabilirsiniz.