Bileşke Fonksiyon

Question

$f$ fonksiyonu tamsayılardan tamsayılara giden bir bijektif fonksiyon olsun ve 

$(fof)(x)=ax+b$  ise $f$ doğrusal olmak zorunda mı? Ben dogrusaldan baska bulamadim.

Answer 1

Ben bir tane buldum:

$f$ fonksiyonunu soyle tanimla:

Eger $n$ ciftse $f(n) = n$.

Eger $n$ tekse ve $4$e bolumunden kalan $1$ ise, $f(n) = n+2$.

Eger $n$ tekse ve $4$e bolumunden kalan $3$ ise, $f(n) = n-2$.

$f(0) = 0$,

$f(1) = 3$,

$f(2) = 2$,

$f(3) = 1$,

$f(4) = 4$,

$f(5) = 7$,

$f(6) = 6$,

...

Bu fonksiyon birebir ve ortendir (neden?). Ve $(f \circ f)(x) = x$ olur. (Neden?)

Comments

$f$'i soyle de tanimlayabiliriz:

Eger $n$, $3$'e bolunuyorsa $f(n) = n$.

Eger $n$, $3$'e bolundugunde $1$ kalanini veriyorsa $f(n) = n+ 1$.

Eger $n$, $3$'e bolundugunde $2$ kalanini veriyorsa $f(n) = n - 1$.

Yani,

$f(0) = 0$

$f(1) = 2$

$f(2) = 1$

...

Bunun gibi bircok ornek uretmek mumkun. Tek yapmak gereken $n$ elemanli bir kumenin permutasyonlarina bakmak. Oyle bir permutasyon bulabilir misin ki iki kere yapinca birim permutasyonu versin?

Ilk ornekte $\{0,1,2,3\}$ kumesi uzerinde $0$ ve $4$'u sabitleyen ve $1$ ile $3$'u degistiren permutasyona baktik. Ikinci ornekte $\{ 0,1,2\}$ kumesi uzerinde $0$'i sabitleyip $1$ ve $2$'yi yer degistiren permutasyona baktik.

Sonrasinda bu kurali butun tamsayilara genislettik.

---

Tesekkur ederim fakat bulduklariniz da dogrusal fonksiyon degil mi hocam?

---

Öyle mi? Grafik çizip bak istersen.