Kartezyen Çarpım-III

Question

$A,B,C$ ve $D$ herhangi dört küme olmak üzere

$$(A\times B)\cup (C\times D)\subseteq (A\cup C)\times (B\cup D)$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(x,y)\in (A\times B)\cup (C\times D)\Rightarrow (x,y)\in A\times B \vee (x,y)\in C\times D$

$\hspace{5.4cm}\Rightarrow (x\in A\wedge y\in B)\vee (x\in C\wedge y\in D)$

$\hspace{5.4cm}\Rightarrow [(x\in A\wedge y\in B)\vee x\in C]  \wedge [(x\in A\wedge y\in B) \vee y\in D]$

$\hspace{5.4cm}\Rightarrow [(x\in A\vee x\in C)\wedge (y\in B\vee x\in C)]  \wedge [(x\in A\vee y\in D)\wedge (y\in B \vee y\in D)]$

$\hspace{5.4cm}\overset{?}{\Rightarrow} (x\in A\vee x\in C)\wedge (y\in B \vee y\in D)$

$\hspace{5.4cm}\Rightarrow x\in A\cup C\wedge y\in B\cup D$

$\hspace{5.4cm}\Rightarrow (x,y)\in (A\cup C)\times (B\cup D).$