$(x+x^2+x^3)^5$ açılımında kaç terim vardır?

Question

 Bu tür 3lu ifadeler ve ifadelerin de üssü olunca nasıl oluyor lütfen yardım eder mısınız?

Comments

Mesela $(x^2+x^3)$'ü tek bir terim gibi düşünüp açılımı yapabiliriz(Ya da $(x+x^2)$'yi fark etmez). (Zaten üssü $5$ olduğu için kısa sürer) Sonra bir kere daha $(x^2+x^3)$'lü ifadeler için terim sayısına bakarız. 

---

En son da bulununan terim sayılarını topluyor muyuz 

---

Sorunuzun daha güzel görünmesi için, lütfen başına ve sonuna $ işareti koyar mısınız?

---

Buradaki çözümü ve yorumlardaki linkleri incelemenizi öneriyorum.

---

<p> Teşekkür ederim :) 
</p>

---

Sayın @ Dehaxdxdxd  yorumlarımızı cevap kısmına yazmayalım. Soru cevaplanmadığı halde çözülmüşlerin içinde yer aldı. 

Answer 1

Kat sayisi sifir olmayan $x$'in kuvvetleri nelerdir? Bu polinomun en kucuk derecesi $5$ ve en buyuk derecesi $15$... Aradaki her degeri alabilecegini gormek zor degil.

Ornegin;

1 1 1 1 1 bize 5 verir
1 1 1 1 2 de 6
1 1 1 2 2 ya da 
1 1 1 1 3 de 7 verir.

Burada katsayilar pozitif binom katsayilri da pozitif. Dolayisiyla $$x^5,x^6,x^7,x^8,\cdots,x^{15}$$ katsayilarinin hepsi de pozitif olur ve istenen cevap $$(15-5)+1=11$$ olur.

Answer 2

Bir de multinom ile çözelim: $$(x+x^2+x^3)^5=\sum_{n_1,n_2,n_3=1\\n_1+n_2+n_3=5}^{5} \dbinom{5}{n_1,n_2,n_3}x^{n_1}\cdot x^{2n_2}\cdot x^{3n_3}$$ şeklinde olur. Bu ifadede $15-5+1=11$'den fazla terim bulunamaz, ancak bu $11$ terim bulunacağı anlamına gelmez, bu yüzden arada alabileceği değerleri yine de kontrol etmeliyiz: $n_1+n_2+n_3=5$ olmak üzere $S=n_1+2n_2+3n_3$ ifadesinin alabileceği değerleri inceleyelim, $S=n_1+n_2+n_3+n_2+2n_3=5+n_2+2n_3=5+(5-n_1)+n_3=10-n_1+n_3$ olduğundan $$n_1=5\text{ ise },n_3\in\{0\} \text{ olabilir ve } S\in\{5\}\text{ olur.}\\n_1=4\text{ ise }, n_3\in\{0,1\}\text{ olabilir ve } S\in\{6,7\}\text{ olur.}\\n_1=3\text{ ise },n_3\in\{0,1,2\}\text{ olabilir ve }S\in\{7,8,9\}\text{ olur.}\\n_1=2\text{ ise },n_3=\{0,1,2,3,4\}\text{ olabilir ve } S\in\{8,9,10,11\}\text{ olur.}\\n_1=1\text{ ise },n_3\in\{0,1,2,3,4\}\text{ olabilir ve } S\in\{9,10,11,12,13\}\text{ olur.}\\n_1=0\text{ ise },n_3\in\{0,1,2,3,4,5\}\text{ olabilir ve } S\in\{10,11,12,13,14,15\}\text{ olur.}$$ O halde, $S\in\{5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}$ değerlerini alabilir ve toplam $11$ tanedir.