Gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli fonksiyonlar için en genel anlamda türev tanımı şöyledir.
Tanım: $A\subseteq \mathbb{R}, \ f\in \mathbb{R}^A \ \text{ ve } \ x_0\in A\cap D(A)$ olmak üzere $$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ limiti (bir gerçel sayı olarak) mevcutsa bu limit değerine $f$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevi denir ve bu limit değeri $f'(x_0)$ ile gösterilir. Burada $D(A)$ ile $A$ kümesinin tüm yığılma noktalarının oluşturduğu kümeyi gösteriyoruz. Yani $$D(A):=\{x|(\forall \epsilon>0)[((x-\epsilon,x+\epsilon)\setminus\{x\})\cap A\neq \emptyset]\}.$$
Not: Ancak şunu da hemen belirteyim. Kavramın önemi, fonksiyonun tanım kümesi aralık olduğunda ortaya çıkıyor.
1) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$(\mathbb{R}\setminus\{0\})\cap D(\mathbb{R}\setminus\{0\})=(\mathbb{R}\setminus\{0\})\cap\mathbb{R}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$ olduğundan tanım kümesindeki her noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz. Belirli bir noktada fonksiyonun türevi vardır ya da yoktur diyebilmemiz için öncelikle o noktanın hem fonksiyonun tanım kümesinde hem de fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerektiği hususuna dikkatinizi çekerim.
2) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Q}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cap D(\mathbb{Q}\setminus\{0\})=(\mathbb{Q}\setminus\{0\})\cap\mathbb{R}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}$$ olduğundan yine tanım kümesindeki her noktada (yani sıfır hariç her rasyonel sayıda) türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.
3) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:(0,1)\cup \{2\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$((0,1)\cup\{2\})\cap D((0,1)\cup\{2\})=((0,1)\cup\{2\})\cap[0,1]=(0,1)$$ olduğundan tanım kümesindeki $2$ noktası hariç tanım kümesindeki her noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.
4) Bu tanıma göre artık $$f(x)=\frac1x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$\mathbb{N}\cap D(\mathbb{N})=\mathbb{N}\cap \emptyset=\emptyset$$ olduğundan tanım kümesindeki hiçbir noktada türevin mevcut olup olmamasından bahsedemeyiz. Dikkatinizi çekmek isterim. Bakın vardır ya da yoktur demiyoruz. Bu fonksiyon için hiçbir noktada türev mevzu bahis edilmez diyoruz.
5) Bu tanıma göre artık $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun $$\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\} \right)\cap D\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup \{0\}\right)$$$$=$$$$\left(\left \{\frac{1}{n}\Big{|}n\in\mathbb{N}\right \}\cup\{0\} \right)\cap \{0\}$$$$=$$$$\{0\}$$ olduğundan tanım kümesindeki sadece $0$ noktasında türevin mevcut olup olmamasından bahsedebiliriz.
NOT : Türevin mevcut olup olmamasından bahsedebilmek için fonksiyonun kuralının bir önemi olmadığını gözlemleyiniz.