Burada yapmak istediğim türev tanımını ve geometrik anlamını yazıp siteye eklemek olacaktır bilenler adına ek bir bilgi olmayacaktır bir soru değildir.
$f(x)$, $f$ fonksiyonun bir kuralı olsun ve verilen bir aralıkta olsun. Buna göre $x$'in verilen aralıkta her bir değerine karşılık olarak $y=f(x)$ fonksiyonunun değeri vardır.
Şimdi ise şöyle bir işlem yapalım; $x$'e artı olarak istediğimiz bir değer verelim ve buna $\Delta x$ diyelim buna göre yukarıdaki tanımdan $x$'de bir değer verip fonksiyonda bir değere ulaşıyorsak aynı şekilde $\Delta x$'de de başka bir fonksiyon değerine ulaşırız buna da $\Delta y$'de bir artım deriz.
Buna göre biz biliyoruz ki $y=f(x)$'di buradan da $=$
$y+\Delta y$=$f(x+\Delta x)$,
Burada $\Delta y$'yi yalnız bırakalım $=$
$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$y$ ve biz biliyoruz $y=f(x)$'di.
$\Delta y$=$f(x+\Delta x)$-$f(x)$ olur her iki tarafı da $\Delta x$'e orantılarız $=$
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$, ve bu oranın $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ halindeki limitine bakılır.
İfade ederken de $=$
$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ $=$ $y'$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$ denebilir bunun çözüm açısından hiçbir farkı yoktur.
Sonuç olarak türeve bir $x$ noktasında eğim bulma işlemine denir. Geometrik olarak da $=$
Bu tarz bir gösterim mevcuttur buradan eğim $tan(\beta)$ $=$ $\dfrac{dy}{dx}$, bir kaç polinom ifadede türev alalım $f(x)=x^3$ diyebiliriz buradan kolayca $f'(x)=3x^2$ deriz bunu bir de $f(x)$'i tanıma koyarak bulalım $=$
$y+\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$,
$\Delta y$ $=$ $(x+\Delta x)^3$ $-$ $x^3$ deriz
$\Delta y$ $=$ $(x^3+3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)-(x^3)$
$\Delta y$ $=$ $(3x^2.\Delta x+3x.\Delta x^2+\Delta x^3)$
Dediğimiz gibi $\Delta x$'e orantılayalım $=$
$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ $=$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$
$y'$ $=$ $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}$ $3x^2+3x.\Delta x+\Delta x^2$
$=$ $3x^2$