Bu soruya bakilabilir.
$\mathbb Z$ kumesinin elemanlarinin toplamina bakalim. Bize bir siralama verilmediginden tum siralamalardaki toplam esit olmali ki kumenin eleman toplami bir sayiya esit diyebilelim.
____________________________________
Burada tabii o toplami bulamayacagimizdan ben bulunabilecek iki ornek veryim: $$\left\{\frac{1}{n^2} \; | \; n\in \mathbb Z^+ \right\}$$ ve $$\left\{\frac{(-1)^n}{n^2} \; | \; n\in \mathbb Z^+\right\}$$ kumeleri. $$\sum_{k=1}^m$$ uzerinde toplamlarini alip $$\lim_{m\to \infty}$$ limitine bakarsak ilkinin yakinsak oldugunu soyleyebiliriz, $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2}=\frac{\pi}{6}$$ bilgisiyle. Bu da $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k^2}$$ sonsuz toplaminin mutlak yakinsak oldugunu verir.
Kisacasi iki toplam da mutlak yakinsak oldugundan toplamlarin terimlerinin yerlerini degistirebiliriz ve toplam degismez.
____________________________________
Simdi $$\{k \: | \: k\in \mathbb Z\}$$ kumesini dusunelim siralamayi $$0,1,-1,2,-2, 3,-3,\cdots$$ olarak devam ettirelim. Toplam dizimiz $$0,1,0,2,0,3,0,\cdots$$ olarak bir limite varmayacaktir.
____________________________________
Paranteze alma hatasi:
Hadi diyelim ki ikili toplamalara izin verdik: $$0+(1+(-1))+(2+(-2))+\cdots+(n+(-n))=0$$ oldugundan limit $0$ dedik. Bu ikili toplamlari degistirirsek $$0+1+(2+(-1))+(3+(-2))+\cdots+(n+(-n+1))=n$$ oldugundan limit sonsuza iraksayacaktir.
____________________________________
Her ne kadar toplami sonlu olan bir kumeyi simetrik bir kumeden cikarttigimizda (dogal olarak) o sonlu toplamin $-1$ katini beklesek de bu tarz cikarimlar yukaridaki gibi hatalari vermeye acik.
Toplama bir ikili islemdir. Iyi sirali dizi toplamlari ise $$S_2=a_1+a_2$$ $$S_3=S_2+a_3$$ $$\vdots$$ olarak yapilir ve sonsuz bir dizimiz var ise bu toplam dizisinin limiti alinir.