$f:\mathbb R\to \mathbb R$ fonksiyonlari için birebirlik öretenlik ve süreklilik (ikisinin bir diğerini gerektirmesi hakkında)

Question

f:R-->R, f fonksiyonu icin hangisi hangileri kesinlikle dogrudur

 I. 1-1 ve orten ise sureklidir  

II. 1-1 ve surekli ise ortendir 

III. Orten ve surekli ise 1-1dir.

Lys kitabindan gordugum bu soruya cok fazla yorum getiremedim. Daha dogrusu lise ogrencisine bu soruyu anlasilir bi sekilde nasil anlatabilirim. Ornekler uzerinden gitmeye calistim fakat kesinlikle dedigi icin nasil acikliyabilirim.yorumlariniz icin simdiden tesekkurler.

Comments

Siz herhangi birine bir karşı örnek bulabildiniz mi?

---

Yok hocam. Kapsayici bir ornek bulamadim. Basta basit bir ornek uzerinden gitmeye calistim y=x fonksiyonu aklima geldi ama kesinlikle ifadesi oldugundan, bi dayanak noktasi bulamadim.

---

(II) nolu bilgi için $f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunu düşün.

(III) nolu bilgi için $g(x)=x^2$ kuralı ile verilen $g:\mathbb{R}\to [0,\infty)$ fonksiyonunu düşün.

---

III ün yanlış olduğunu göstermek için  3. derece polinom şeklinde karşı örnek bulunabilir (var).

---

Verdigimiz orneklerin R den R ye olmasi gerekmez mi. ex fonksiyonu R yi orter mi. Bu arada cevap 1 ve 2 olarak verilmis.

---

II) iddiasına polinom şeklinde bir karşı örnek bulamayız.

---

Fonksiyonun $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ olduğu hususunu atlamışım. Ama şu fonksiyonları ele alabilirsiniz.

(II) nolu bilgi için $f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunu düşün.

(III) nolu bilgi için $g(x)=x^3-x$ kuralı ile verilen $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunu düşün.

---

Dogan ve Murad hocam yorumlariniz icin tesekkur ederim. Ornek uzerinden gitmek biraz sıkıntı oluyor gibi. 3 icin aksine bir ornek verebiliriz belki ama 1 ve 2 icin dogrulugunu garantilemek ornekler yetersiz kalabilecegini dusundum. Acaba ornek uzerinden gitmeden bu soruya nasil yaklasilabir. Bu konida yorumlariniz benim icin onemli. Simdiden tesekkur ederim.

---

Şöyle yapalım.

(II) nolu bilgi için $f(x)=e^x$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunu düşün.

Soru 1) Bu fonksiyon birebir mi? Neden?

Soru 2) Bu fonksiyon sürekli mi? Neden?

Soru 3) Bu fonksiyon örten mi? Neden?

(III) nolu bilgi için $g(x)=x^3-x$ kuralı ile verilen $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ fonksiyonunu düşün.

Soru 4) Bu fonksiyon örten mi? Neden?

Soru 5) Bu fonksiyon sürekli mi? Neden?

Soru 6) Bu fonksiyon birebir mi? Neden?

---

Sorunuzda "kesin doğru" olan istendiğinden geneli bozan bir örnek vermek yeterli olur. $f(x)=e^{x}$  örneği yüzünden  II. öncülün  kesin doğru değil.

---

Hepsi yanlış olduğu için (hepsine farklı) örnek vermekten başka çare yok.

---

I. onculu yanlislayabilmek icin parcali bir fonksiyon dusunebildim.

---

Bu durumda sorunun hatali oldugunu soyleyebilir miyiz? Cunku cevap 1 ve 2 olarak verilmis.

---

Yukarıdaki $6$ sorunun cevabını biraz daha düşün. Çünkü bu soruların cevabını bulduğunda sorunun cevabını bulmuş olacaksın. Hatta (I) nolu bilgi için de $x$ rasyonel iken $f(x)=x$ ve $x$ irrasyonel iken de $f(x)=-x$ fonksiyonunu düşün. 

---

Soru (özellikle I için karşı örnek bulmak) lise düzeyi için biraz zor. 

Lisans düzeyinde belki olabilir. 

Ama cevap (1 ve 2 nin doğru olduğunu söylüyor ise) kesinlikle hatalı. 

Önermelerin tümü yanlış.

AMA "fonksiyon" değil "polinom" dense 1 ve 2 doğru olurdu.

---

Alper'in dedigi gibi lise duzeyindeki kisiler de bir karsit ornek bulabilir bence. Hatta egimli bir dogrunun iki noktasini oynatmak bile yeterli. 

---

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} \frac{1}{x} & , & x\neq 0  \\ 0 & , & x=0 \end{array} \right.$$

fonksiyonunu düşünmüştüm I. öncül için Sercan. Senin eğimli doğru örneğin nedir?

---

I. önermenin yanlış olduğuna, parçalı fonksiyon şeklinde olmayan(!) bir örnek:

$f(x)=x+\left\lfloor \lfloor x\rfloor-x\right\rfloor$ ($\lfloor\ \rfloor$:Tam Değer)

---

$f(x)=x$ fonksiyonunu alalim. Surekli, birebir ve orten.  $f(0)=1$ ve $f(1)=0$ olarak degistirirsek sureklilik bozulur fakat birebirlik ile ortenlik devam eder.

Answer 1

Yorumlardak sonucları toparlarsak:

(I) icin karsit ornekler: 

$f:\mathbb R \to \mathbb R$ olmak uzere $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} \frac{1}{x} & , & x\neq 0  \\ 0 & , & x=0 \end{array} \right.$$  kurali ile verilen $f$ fonksiyonu... (Alper Cay)

$g:\mathbb R \to \mathbb R$ olmak uzere  $$g(x)=x+\left\lfloor \lfloor x\rfloor-x\right\rfloor$$ ($\lfloor\ \rfloor$:Tam Değer)  kurali ile verilen $f$ fonksiyonu...  (Dogan Donmez)

$h:\mathbb R \to \mathbb R$ olmak uzere $$h(x)=\left\lbrace\begin{array}{ccc} x & , & x\neq 0,1  \\ 1 & , & x=0  \\ 0 & , & x=1 \end{array} \right.$$  kurali ile verilen $f$ fonksiyonu... (Sercan)

(II) icin karsit ornek: 

 $$f(x)=e^x$$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ fonksiyonu... (Murad Ozkoc)

(III) icin karsit ornek: 

$$g(x)=x^3-x$$ kuralı ile verilen $g:\mathbb{R}\to \mathbb R$ fonksiyonu... (Murad Ozkoc)