Question

$ S^{2} \subset\mathbb{R}^{3} $ birim küresi olmak üzere $ f(x,y,z)=(x^{2}-y^{2},xy,yz,zx) $ ile tanımlanan $ f:S^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4} $ sürekli dönüşümünün $ \tilde{f}: \mathbb{R}P^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4} $ sürekli dönüşümünü indirgeyeceğini ispatlayınız.

Answer 1

$\mathbb{R}P^2=\frac{\mathbb{S}^2}{\sim},\quad ((x,y,z)\sim (-x,-y,-z))$ olduğundan $f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)$ sağlanıyorsa istenen $\tilde{f}$ tanımlanır. $\tilde{f}$ nin sürekli olduğunu göstermek için, $\mathbb{R}P^2$ üzerinde (yukarıdaki özdeşleştirme ile tanımlanan) bölüm topolojisi var olduğunu kullanmak gerekir. Bölüm topolojisinin tanımından da ($f$ sürekli olduğu için) $\tilde{f}$ nin da sürekli olduğu kolayca görülecektir.