Her birinden en az bir kişi çıkmak şartı ile kapı ve pencerelerden 1 öğretmen, 12 öğrenci kaç farklı şekilde çıkabilir?

Question

Bir sınıfta 1 öğretmen, 12 öğrenci 1 kapı ve 4 pencere bulunuyor.

Kapı ve pencerelerden her birinden en az bir kişi çıkması şartıyla öğretmen ve öğrenciler kaç değişik şekilde sınıfı boşaltabilirler?

A)495 B)500 C)505 D)510 E)515

*Ben öğretmeni ayrı olarak saymayıp 13 kişi olarak düşündüm 5 tanesi en az dediğinden dolayı geçti kalan 8 kişi 5 çıkışı nasıl kullanacak onu hesaplayamadım*

Comments

Cevap herhalde 495. Fakat bu kapi ile pencereyi ayni, bireyleri de ayni gormek olur. Fakat sorunun manasi bu sekilde degil.

---

Çözümü nasıl ben C(13,5)-C(12,5) ten buldum ama sebebini anlamadım 

---

Eger kisileri ve cikislari esdeger gorursek: 5 kisiyi cikarttiktan sonra geriye 8 kisi kalir. Bunlari $aaaaaaaa$ olarak gosterelim. Bes bolmeye ayirmak icin  | | | | kullanalim. Kisacasi $$aaaaaaaa||||$$ yer degistirmesine bakacak oluruz.

Answer 1

Çıkışlar ve insanlar özdeş sayılırsa elimizde $5$ çıkış $13$ kişi olur. Her cıkıştaki kişi sayımızı $x_i$ ile gösterelim ($i\in\mathbb{N}$) ve buradan şu denkleme varıyoruz $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=13$$ şimdi burada ayraç yöntemi sonucu elde edilen bir formül var, özdeş nesneleri dağıttığımız zaman. Bu aynı zamanda katsayıları $1$ olan  $x_1+\cdots+x_r=n$ denkleminin negatif olmayan tamsayı çözümlerini de bize veriyor :$$\dbinom{n+r-1}{r-1}$$. Ecnebiler buna stars and bars veya pickles and jars da diyorlar. Ben ceviz kabuğu diyeni de gördüm:).(Neyse) İkinci bir önemli nokta ise en az bir kişi çıkacak denmesi yani $x_i\geq 1$ o zaman her $x_i$ için $x_i'+1$ deyip bu denklemi yeniden yazarsak $$x_1'+x_2'+x_3'+x_4'+x_5'=8$$ şimdi de $$\dbinom{8+5-1}{5-1}=\dbinom{12}{4}=495$$ ....

Comments

Sayilmazsayi da cozebilir misin? 

---

Sayılmaması pek bir anlam ifade etmiyor bence. $1$ inin öğretmen $12$'sinin öğrenci olması öğretmen ve öğrencilerin  kaç farklı şekilde çıkacağı durum geleceğini değiştirmez. Ama sayılamaz diyebileceğimiz bir problem daha enteresan olurdu. Öyle bir şey bulmaya çalışayım. (Belki yalnız öğretmen veya öğrenciyi sorsa (öğrenciyi büyük ihtimalle) onu düşünmeliyim...)

---

Eger secenekleri gormeseydim, bu problemi kisileri ve cikislari farkli sayarak cozerdim. Secenekleri gordum, yine oyle cozerim. Lakin ki secenekler bu cozume gore yapildigini gosteriyor. Bu sorunun (en azindan su an icin bendeki) anlamini degistirmez. 

---

Ben yine buradaki gibi çözerdim, sorudan anladığımın $5$ çıkış olmasının yaratacağı farklılığın ölçülmesi olduğundan ötürü, öğretmen ve öğrencileri ayırmadığı için öğretmen ve öğrenciler yani sınıftaki insanlar demek istediğini düşündüğüm için. Ama bu soruların hepsinde bir Türkçe kıtlığı var, neyi özdeş kabul edeceğimizi şaşırtmak ve bizi ters köşeye yatırmak için böyle soruyorlar ama doğru düzgün ifade edemeyip iyice tuhaf bir hale getiriyorlar. 

---

Elinize sağlık hocam. Stars and bars'ı bilmiyordum araştırayım teşekkürler