Ters fonksiyon özelliklerinde ispat

Question

$f:X\rightarrow Y$ fonksiyon ve $E,F\subseteq Y$  olsun.

$a)$ $E\subseteq F\Rightarrow f^{-1}(E)\subseteq f^{-1}(F)$

$b)$ $f^{-1}(E\cap F)=f^{-1}(E)\cap f^{-1}(F)$

$c)$ $f^{-1}(E\cup F)=f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F)$

$d)$ $f^{-1}(E\setminus F)=f^{-1}(E) \setminus f^{-1}(F)$

$e)$ $f^{-1} (F^t)= [f^{-1}(F)]^t$

Comments

$a$ şıkkında $f^{-1}(E)\subset f^{-1}(F)$ olmalı herhalde.

---

Evet hocam, düzenledim

---

birsürü dolar koymuşsun tüm matematiksel ifade için başı ve sonuna yetiyor, ve ayrıca öyle yapınca çok karışık gözüküyor :)

---

Ya inan bilmiyodum bosuna ugrasmisim hepsine ekleyip, sagol duzenledigin icin :) 

---

Bu arada diger seceneklerde kapsama ya da esit isareti olmali. Kategori lisans daha uygun olur.

---

Emel burada $f^{-1}(E)$ deki $f^{-1}$ ters fonksiyon DEĞİL.

Herhangi bir $f$ fonksiyonu ve herhangi bir $E\subseteq Y$ kümesi için tanımlanabilen bir küme sözkonusu, onun tanımını bilmen gerekiyor.

---

Bir de b,c ve d de $\rightarrow$ değil eşitlik olmalıydı.

---

Hocam nereden baslamaliyim peki? b ve c'yi kismen yapabildim ama d ve e icin nasil yapmaliyim bilmiyorum

---

e) $f^{-1} (F^t)= [f^{-1}(F)]^t$ olmalı

---

sorunun son şıkkı, Doğan Hocanın belirtiği gibi $f^{-1}(F^t)=[f^{-1}(F)]^t$ gibi olmalı.

---

Kümelerde alt/üst küme olma ve eşitlik ilişkilerini nasıl isbat ediyorsan burada da o yolu takib edebilirsin.

Soldaki kümeden bir eleman al, biraz muhakeme ederek ve küme işlemleri yaparak, sağdaki kümeye dair bir sonuca var.

---

İpucu:  $f:X\rightarrow Y$ herhangi bir fonksiyon (tersinin olması gerekmez) ve $E\subseteq Y$  olmak üzere

$$f^{-1}[E]:=\{x|f(x)\in E\}\subseteq X$$ kümesine, $E$ kümesinin $f$ fonksiyonu altındaki ters görüntüsü (veya ön görüntüsü veya orijinali) denir. Buradan da 

$$x\in f^{-1}[E]\Leftrightarrow f(x)\in E$$ olduğuna dikkat ediniz.

---

$F^t$'deki  $t$ ne anlama geliyor?

---

Tümleme anlamında kullanılmış olsa gerek.

---

Evet tümleme anlaminda

---

b ve c icin asagidaki gibi yapabilirim sanirim:

$a\in f^{-1}(E\cup F)\Rightarrow f(a)\in E\cup F$

$\hspace{2.8cm}\Rightarrow f(a)\in E \vee f(a)\in F$

$\hspace{2.8cm}\Rightarrow a\in f^{-1}(E) \vee a\in f^{-1}(F)$

$\hspace{2.8cm}\Rightarrow a\in f^{-1}(E)\cup f^{-1}(F).$

---

Evet böyle. Gayet güzel. Bir de latex kodları ile yazarsan harika olacak.

---

d şıkkı yok mu arakadaşlar