Merhaba Gülsün koparan, Matkafasi'na hoş geldiniz.Sitede soru sorarken dikkat edilmesi gereken pek çok kural var. Bunlardan en önemlilerinden birisi, soru soran kişinin yazdığı soru hakkında kendi denemelerini ve düşündüklerini yazması kuralı. Bu kuralın pek çok nedeni var. Bu konuda lütfen şuradaki yorumu okuyun. Genel kurallar hakkında da lütfen şuraya bakınız. Bir de sorumuza uygun kategori ve etiket seçimine dikkat etmeliyizÖnemli anımsatma: Genel olarak kurallara uygun sorulmuş sorular yanıt bulmakta.
$I+J=R$ oldugunu kullanabilirsin. Demek ki $1=i+j$ olarak yazilabilir.
Peki buradaki i ve j ler kesişimin elemanı olur mu
Yani buradan i ve j elemani dir kesişim deyip bu iki halkanın carpimlarinin alt kümesi olduğuna nasıl ulaşacağım
Olmak zorunda degil. $I+J=R$ olmasi demek oyle $i \in I$ ve $j\in J$ olmasi vardir ki $$i+j=1$$ olmasi demektir. Bu guzel cunku idealdeki herhangi bir $a$ elemani icin $$a=ai+aj$$ saglanir. Peki bu $a$ bu iki idealin kesisiminde ise ne olur?
O halde a dediğimiz eleman hem I nın hemde J nin elemanı olur
Evet, kesisimde ise dogal olarak kesisimde olur. Fakat cikartmak istedigimiz bu degil. Istedigimiz kesisimde ise carpimda olur'u gostermek. Bunun icin de $a$'nin esiti olan $ai+aj$'yi kullanmaliyiz.
Ancak kesişimde olduğunu bilmiyoruz öncelikle bunu göstermemiz gerekmez mi
a parantezine almak bi işimize yarar mı
$a \in I\cap J$ alip $a\in IJ$ oldugunu gostermeye calisacagiz. $a \in I\cap J$ olarak aldigimizdan zaten kesisimde, boyle aliyoruz. Bu durumda $ai$ ve $aj$ elemanlarinin $IJ$'de oldugunu gosterirsek $ai+aj$ yani $a$ da $IJ$'de olur. (degil mi?)
Evet hocam ai ve aj nin IJ de olduğunu göstermek için a kesişimin elemaniydi i de I nın elemanı deyip direkt ai IJ ve aj elemani dir IJ diyebilir miyiz
Ya da IJ nin tanimindan toplam sembolundeki ai aj ler carpimin elemanı olur mu demeliyiz
$ai\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in J$ olur. Ayni zamanda $i \in I$ dolayisiyla $ai=ia\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)... $aj$'yi de ayni sekilde gosterebiliriz.
Anladım hocam diğer kapsamayi göstermek için izlediğim yol doğru mudur peki
Dogru $IJ$ zaten her zaman $I\cup J$ icerisinde. Cunku $IJ \subseteq IR=I$ ve $IJ \subseteq RJ=J$. Ideal olmanin guzelligi...Bunlara zamanla alisirsin. Ilk olarak acip yazmak daha iyi olabilir, gormek icin.
Anladım hocam çok teşekkür ederim çok yardımcı oldunuz direkt cevabı vermektense beni zorlamaniz bana çok şey kattı
Buradaki amacimiz zaten bu. Ogrenen kisileri problemlerini cozebiliecek seviyeye getirmek. Ise yaramasi da sevindirici tabii. Ben de tesekkur ederim.
Yorumlari cevaba geciriyorum:$IJ$ zaten her zaman $I\cup J$ icerisinde. Cunku $IJ \subseteq IR=I$ ve $IJ \subseteq RJ=J$. Ideal olmanin guzelligi...Gelgelelim diger yone... $I+J=R$ olmasi demek oyle $i \in I$ ve $j\in J$ olmasi vardir ki $$i+j=1$$ olmasi demektir. Bu guzel cunku idealdeki herhangi bir $a$ elemani icin $$a=ai+aj$$ saglanir. Peki bu $a$ bu iki idealin kesisiminde ise ne olur?$a \in I\cap J$ olsun. Bu durumda $ai$ ve $aj$ elemanlarinin $IJ$'de oldugunu gosterirsek $ai+aj$ yani $a$ da $IJ$'de olur. $ai\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in J$ olur. Ayni zamanda $i \in I$ dolayisiyla $ai=ia\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)... $aj\in IJ$ oldugunu gosterelim: $a \in I\cap J$ oldugundan $a \in I$ olur. Ayni zamanda $j \in J$ dolayisiyla $aj\in IJ$ olur. ($IJ$'nin tanimi geregi)...