Açıortay Denklemleri

Question

$\dfrac{12}{5}x-y=0$    ve   $\dfrac{4}{3}x-y=0$    doğrularının açıortay  denklemlerini  bulunuz.

Farklı çözümleri görmek adına soruyorum.

Comments

$A(x,y)$ $d_1$ ve $d_2$ doğrularına eşit uzaklıkta olan bir nokta olsun dedim, buradan da iki açıortay denklemi geldi. İkinci bir fikir ise bu doğruların eğimlerini bildiğim için $x$ ekseni ile yaptıkları açılar sırasıyla $\alpha$ ve $\theta$ olmak üzere $\tan\alpha=\dfrac{12}{5}$ ve $\tan\theta=\dfrac{4}{3}$ açıortay doğrusunun denklemini bulabilmek için $x$ ekseniyle yaptığı açıyı bulmayı düşündüm: $$\tan\left(\frac{\alpha-\theta}{2}+\theta\right)=?$$ dar açının doğru denklemini buradan (belki) bulabilirim geniş açı için ise $$\tan\left(\frac{\pi-\alpha+\theta}{2}\right)=?$$ dan bulabilir miyim diye düşündüm. (Bunlar sadece birer düşünce, geniş açıda biraz aklım karıştı büyük ihtimal)

---

2. yolun biraz uzun olsa da cozum verir. Burada amacim vektorleri kullanarak estetik bir cozum gostermek.

---

Orijin noktalı bir eşkenar dörtgen iş görür. @Alper, senin de demek istediğin bu galiba.

---

Aynen Sercan Hocam, kutlarim.

Answer 1

merhaba 

Doğrular  üzerinde $\vec{u}=(5,12),\vec{v}=(3,4)$ vektörleri alalım ve açıortay vektörüne de 
 $\vec{a}=(1,m)$ diyelim. $\vec{a} ~ ve ~\vec{u} $ ile $\vec{a} ~ve~ \vec{v}$ aralarındaki  açıların ölçüsü aynı olacağından aradaki açıların kosinüs değerini vektör sklaler çarpımından birbirine eşitleyelim.

$cos\theta =\frac{ \vec u .\vec a    \ }{\left |\vec u      \right |\left | \vec a    \right |}=\frac{ \vec v .\vec a    \ }{\left |\vec v      \right |\left | \vec a    \right |} $

$cos\theta =\frac{ 5+12m   \ }{ 13.\sqrt {m^2+1} }=\frac{ 3+4m   \ }{ 5.\sqrt {m^2+1} } $ eşitliğinden  aranan m değerleri (eğimler)

$\frac{ 7   }{ 4 }$ ve -$\frac{ 4   }{ 7 }$ olarak ,doğru denklemleri de $y=\frac{ 7x   }{ 4 }$ ile
 $y=\frac{ -4x   }{ 7 }$ 

olarak elde edilir. (Denklemde mutlak değeri yazmadım. Şekilde iki vektör arasındaki açıortaylardan birini çizdim.kesişen iki doğrunun iki açıortayı olduğu ve bunların dik olduğunu da hatırlatmak uygun olur sanırım.) 

iyi çalışmalar...

Comments

Elinize sağlık hocam:) Vektörler hakkında çok bilgi sahibi olmayan biri olarak biraz abuk bir soru soracağım , Cauchy-Schwarz da da görmüştüm ama bakmadiydim $||u||$ daki $||$'lar ne anlama geliyordu?

---

selam deniz.

onlar da mutlak değer gibi uzunluk ,boy anlamında . norm.

bu arada bildiğim kadarıyla siz yeni müfredata geçeceğiniz için seneye 12 de görmeniz gereken vektör konusunu (dolayısıyla skaler çarpma ve ...) görmeyeceksiniz öyle bir durum da var son dakikada durum değişmezse eğer.

---

Teşekkürler hocam, güzel ve ilginç ne kadar konu varsa hepsini kaldırıyorlar, integrali de hafifleteceklerini söylemiştiniz hatta bir ara, bizim seneye denk geliyor galiba:(

---

Birim vektorleri kullanarak da cozebiliriz.

Answer 2

$\vec{v}=(3,4)$    ve  $\vec{u}=(5,12)$  vektörleri yönündeki birim vektörler sırasıyla  $\vec{b_1}$  ve   $\vec{b_2}$   olsun. Fikir şu: Bunlar birim boyda olduğu için bir eşkenar dörtgen oluştururlar ve toplamları paralelkenar kuralından dolayı eşkenar dörtgenin köşegeni üzerine bulunur. Eşkenar dörtgenin köşegeni dörtgenin özelliğinden dolayı bu vektörlerin açıortay doğrusu üzerindedir. Öyleyse birim vektörleri toplamak yeterlidir. $\vec{b_1}=(3/5,4/5)$    ve  $\vec{b_2}=(5/13,12/13)$ olduğundan  $\vec{b}=\vec{b_1}+\vec{b_2}=(64/65,112/65)$   bulunur. Açıortay doğrusunun eğimi  $m$  ile gösterilirse  $m=112/64=7/4$  olacağından aradığımız  açıortay denklemi  $y=\dfrac{7}{4}x$  olur. Diğer açıortay buna dik olacağından denklemi  $y=-\dfrac{4}{7}x$  olmalıdır.