Bir $ABC$ dik üçgeninde $n_A$ ve $n_B$ üçgenin kenarlarını sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyorlar. $[AD]\cap[BE]=\{I\}$ ve $CDE$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$'dur. $OI$ doğrusu $[AB]$ kenarını $F$ noktasında kesiyorsa , $m(\widehat{OFB})$ kaç derecedir?

Question

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{C})=90^\circ$ ve  $A$ ve $B$ noktalarından inen açıortaylar üçgenin kenarlarını sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyorlar. $[AD]\cap[BE]=\{I\}$ ve $CDE$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$'dur.  $OI$ doğrusu $[AB]$ kenarını $F$ noktasında kesiyorsa , $m(\widehat{OFB})$ kaç derecedir? (Sharygin Geometri Olimpiyatları - 2010)

Merhabalar, bu problemi çözmeye çalışırken çok fazla bir yorum yapamadım $m(\widehat{A})=2\alpha$ ve $m(\widehat{B})=2\beta$ olsun dedim, $2\alpha+2\beta=90^\circ$ olacağından $\alpha+\beta=45^\circ$ olur ve bunun üzerine $m(\widehat{EID})=m(\widehat{AIB})=135^\circ$ olur dedim. Buradan sonrası için $\widehat{EID}$ açısını $45^\circ$ ve $90^\circ$ olacak şekilde böldüm, sonra $\widehat{CDB}$ açısından $\beta$'lık bir dilim aldım ve $135^\circ$'i böldüğüm kenar üzerine $Q$ noktasına indirdim. Kalan açı $90-\beta$ geliyor tabii ama bunu $\widehat{OFB}$'yi bulma konusunda bir işe yaratamadım. Ayrıca $CDE$ dik olduğu için $O$ $CDE$ üçgeninin hipotenüsünün ortasıdır, ama bunu da bir işe yaratamadım.

Sizin tavsiyeleriniz nelerdir?

Comments

CF=FB=AF kenarları eşit oluyor süper üçlü kuralından belki burada çıkan ikizkenar üçgenler işine yarayabilir.

---

AA ben çok yanlış çizmişim şekli buraya da $[AB]$ yazmama rağmen $OI$'nin $AC$ yi kestiği yerden almışım. Söylemesen fark etmeyecektim. Teşekkürler:)

Answer 1

Açıortaylardan indirilen dikmeleri ayaklarına $K$ ve $L$ diyelim. $AI$ iç açıortayken $m(\widehat{AIE})=45^\circ$ olduğundan $I$ $AKE$ ve $BLD$ ücgenlerinin dış teğet çemberinin merkezi olur. Bundan ötürü $KIL$ ikizkenar dik üçgen olur, $O$ $ED$ nin orta noktası olduğundan $KL$ nin ortası ve $I$ noktasından geçen doğru $O$ dan da geçer. Bu durumda $m(\widehat{OFB})=90^\circ$ olur. Dipnot :şekilde öyle görünse de $C,O,F$ noktaları doğrusal olmak zorunda değildir.