olasılık hesabında farklı boyutlarda tanımlanmış 2 elemanı aynı işleme almak matematiksel olarak doğru mudur

Question

ör: -2 ve +3 arasından seçilecek olan iki reel sayının çarpımının ''0'' olma ihtimali nedir? Mesela bu soru ''seçilecek iki reel sayının çarpımının pozitif olma ihtimali'' diye sorulmuş olsaydı  doğru parçalarının uzunluklarından faydalanıp soruyu çözecektik ama bu şekilde sorulduğu zaman nokta ve doğru parçasını aynı işleme almak ne kadar mantıklıdır?

Comments

Ben de merak ettim, çarpımlarının pozitif olması dediğin zaman mesela, $[-2,0)$ aralığından ve $(0,3]$ aralığından seçerim, gerçel sayılar olarak baktığımızda bu aralıklarda sonsuz sayı var, $[-2,3]$ aralığında da sonsuz sayı var... Doğru parçasının uzunluğundan faydalanarak yapmayı daha önce görmüştüm sanırım ama $0$ ı dahil almadığımız için yine kafam karıştı. Sonuç olarak iki yaklaşımla da yapamıyorum, ama ikisinin de farklı bir sonuç vereceğini hissediyorum:) (bu hissim doğru mu? Doğruysa neden doğru?:))

---

Sanırım soru ölçüm teorisini ilgilendiriyor. (0,1) aralığından rasyonel veya irrasyonel sayıların seçimleri ile ilgili sorular vardı yanlış hatırlamıyorsam. Buna göre bu aralıktan rasyonel sayı seçme ihtimali sıfırken ( rasyonel sayılar sayılabilir olduğundan ölçümü sıfır alınıyor) irrasyonel sayı seçme ihtimali 1 idi yanlışım yoksa. Tabii siz reel sayı seçiyorsunuz. Şu soru da ilginç: Sayı doğrusu üzerinden rastgele seçilen (seçebilmek ne anlamda bilmiyorum,belki de anlamsızdır) bir sayının negatif (pozitif) olma ihtimali nedir? Bilen birisi aydınlatırsa sevineceğim.

---

Nokta ve dogru parcasi... ikisi de aslinda noktalar kumesi...

Olasilik teorisinde sayilabilirlik vardir. Burada her olasik sifir olarak dursa da butun olarak $1$'e esit olur. 

Gercel tanimlar uzerinde surekli olan $y=1/5$ fonksiyonu var burada ve buradaki olasiligi integralle bulur. 

Eger buradan devam ettirmek istediginiz bir yer olursa tartismaya devam edebiliriz. 

Answer 1

Sorunuz ölçüm teorisiyle de ilgili ve evrensel kümenizi analitik düzlemde bir karesel bölge ile ifade edebilirsiniz. Dolayısıyla alan ölçümü kullanırız. İstenen durumların kümesi ise doğru parçalarından oluşuyor ve alan oluşturmadığı için bunun alan ölçüsü sıfırdır. Dolayısıyla olasılığı hesaplamak için istenen kümenin alan ölçüsünü, evrensel kümenin alan ölçüsüne oranlarız. Olasılık $0$ olur.

Sonsuz elemanlı örnek uzay içeren olasılık problemlerinde, istenen durumların kümesi boş kümeden farklı olmasına rağmen olasılığının $0$ olması sık karşılaşılan bir durumdur. Sonsuz elemanlı örnek uzaylar için olasılık fonksiyonlarının tanımlanma biçimlerinden dolayı yapılan bu tür işlemler mantıklıdır.

Comments

“Sonsuz elemanlı örnek uzay içeren olasılık problemlerinde, istenen durumların kümesi boş kümeden farklı olmasına rağmen olasılığının 0 olması sık karşılaşılan bir durumdur” bu cümle aslında sormak istediğim sorunun hem matematiksel betimlemesi hem de cevabı olmuş oldu, cevabınız için teşekkür ederim.