Öncelikle sorunun altındaki ilk yorumu okuyunuz lütfen.
$\{X_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$, serbest $\mathbb{Z}$-modüllerinden oluşan bir aile olsun.(Bunun serbest abelyen gruplardan oluşan bir aile almak olduğunun farkına varın). $D$ de herhangi bir $\mathbb{Z}$-modül olsun. Eğer $$\cdots\longleftarrow^{d_{q-1}}X_{q-1}\longleftarrow^{d_{q}}X_{q}\longleftarrow^{d_{q+1}}X_{q+1}\longleftarrow^{d_{q+2}}\cdots$$ dizisi net (exact) ise $$\cdots\longrightarrow^{d^*_{q-1}} Hom(X_{q-1},D)\longrightarrow^{d^*_{q}} Hom(X_{q},D)\longrightarrow^{d^*_{q+1}} Hom(X_{q+1},D)\longrightarrow^{d^*_{q+1}} \cdots$$dizisi de nettir. İspatlayın.
Notlar ve ipucu:
Bu yeni dizideki oklar geri çekme ile elde edilen oklar: (http://matkafasi.com/11243/%24g%24-morfizmalarini-hom-ile-geri-cekme-ileri-itme-tensorleme) Eğer $f\in Hom(X_q,D)$'nin bir elemanı ise $$d^{*}_{q+1}(f)=f\circ d_{q+1}\in Hom(X_{q+1},D)$$biçiminde tanımlanır.
Dizinin netliğini göstermek için $$\ker({d^*_{q+1}})=im({d^*_{q+1}})$$eşitliğini ispatlamak gerek. Bu eşitliğin $$\ker({d^*_{q+1}})\supseteq im({d^*_{q+1}})$$ kısmı $X_i$'lerin serbest olmasından bağımsız olarak her zaman doğrudur. Bunu göstermek için $d^*_i$ fonksiyonlarının tanımını ve $d_{i}\circ d_{i+1}=0$ bilgisini kullanmak yeterli. Diğer içerme ilişkisini göstermek için serbest abelyen bir grubun altgrubunun da serbest abelyen bir grup olduğu ve içinde bulunduğu grubun bir direk toplam parçası (direct summand) olduğunu kullanmak gerek. Elimizde, ilk net dizi nedeniyle şöyle bir kısa net dizi bulunmakta: $$0\leftarrow im (d_q)\leftarrow^{d_{q}}X_q\leftarrow \ker d_{q}\leftarrow 0$$ Az önceki anımsatma gereği bu kısa net çizgi bize $$im(d_q)\oplus \ker(d_{q})\simeq X_q$$ izomorfizmasını verir. Bu bilgiyi şöyle kullanabiliriz. Diyelim ki $f\in \ker(d^*_{q+1})$ olsun. Bu, tanım gereği $f\circ d_{q+1}=0$ demek. Öte yandan $d_{q+1}\circ d_q=0$ olduğu için $f$ otomatik olarak $im(d_q)$ üzerinde sıfırdır. Yani $f$'nin $\ker(d_q)$ üzerindeki davranışı $f$'yi tamamen belirler. Şimdi ispatı bitirmek için $Hom(X_{q-1},D)$ içinde görüntüsü $f$ olan bir homomorfizma bulmamız gerek. Ama tıpkı $X_q$ için olduğu gibi $X_{q-1}$'in de bir parçalanışı var: $$X_{q-1}\simeq im(d_{q-1})\oplus \ker d_{q-1}\simeq ker(d_{q})\oplus \ker d_{q-1}$$ İkinci eşitlik için orjinal dizimizin net olduğunu kullandık. Şimdi tek tapmak gereken, buradan $f$'e bir öngörüntü bulmak.
$X_q$'lar serbest değil de izdüşümsel olsaydı ne olurdu?