Eger $a$ ve $b$ negatif tam sayilar olabilirse $b$ icin cok kucuk degerler secebiliriz. $$\frac{-45}{-100},\frac{-450}{-1000},\frac{-4500}{-10000}, \cdots$$ gibi... Dolayisi ile en kucuk $b$ degerini bulamayiz. Yoktur.
Bu nedenle $a$ ve $b$ tam sayilari pozitifken bu en kucuk degeri arayalim. (Ek bilgi olarak sunu belirtelim: Pozitif tam sayilarin bos olmayan her alt kumesi bir en kucuk eleman icerir. Dolayisiyla burada istenen degeri bulabiliriz).
$a$ ve $b$ pozitif tam sayilarini aralarinda asal secebiliriz. Bu seceim mantikli cunku herhangi bir pozitif $n\ge 2$ icin $$nb>b$$ saglanir. Dolayisiyla sadelestirmeleri yapip aralarinda asal hale getirmek ile potansiyel en kucugu bulmus oluruz. (Bunu kullanmayacak olsak bile bu sorularda ise yaramasi epey muhtemeldir).
Esitsizligi pozitif tam sayi olan $b$ ile carpalim: $$0.4\cdot b< a < 0.5\cdot b$$ olur. Uc degerler arasindaki fark eger $1$'den buyuk olursa her turlu araya bir tam sayi girer. Dolayisi ile $$b\ge 11$$ ise uygun bir $a$ degerini bulabiliriz.
Su an deneme yapmamiz gereken degerler $$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$ kumesinin elemanlari. Kucuk bir kume... Bu kume icerisinde istenen sarti saglayan degerler (senin dedigin gibi deneyerek) $$7,9$$ degerleri. (Dikkat edilirse $8$ ve $10$ saglamiyor!)
Burada deneme yapmadan nasil bulunur?
Bir $b$ degeri icin elimizde cubuk boylari $0.1\cdot b$ olan cubuklar var. Bu cubuk boyu $1$'i gectiginde araya $a$ tam sayisi alabiliriz dedik. Lakin $1$'den kucuk esit ise bu cubuk ne zaman bir tam sayiyi icerir? Bu soruya tam cevap vermebilmek icin cubuk boylarinin uc noktalarini bilmemiz gerekir. Bunu da o sayilari carparak elde etmemiz yani buradaki tabiri ile denememiz gerekir.
Uc noktalara yakin bir deger de is gormeyebilir. Eger $6-10^{-100^{100}}$ ve $6+10^{-100^{100}}$ gibi iki uc deger gelecek olursa, hata payinin kucuklugune gore yakin degerler almak da hata verebilir.
_________________
Bazi ozel sayilar icin bir iki ozel hal genellestirilebilir. Ornegin burada $0.5$ ozel bir sayi. En kucuk $b$'nin tek olacagi ve $b>5$ (boyun 0.5i asmasi icin) olacagi ve de $7$ (0.5i astigi ilk yer) gelecegi cok cabuk gozukuyor. Yani bu soruyu cat diye cozmek de kolay.