Hangi iki degiskenli $f(x,y)$ polinomlari icin $\langle \partial_x f, \partial_y f \rangle = \langle x,y\rangle$ esitligi saglanir? Asagida bazilarini yazdim, en genel sekilde nasil ifade edebilirim bunlari?
- $f(x,y) = x^2 + y^2$,
-
$f(x,y) = xy$,
-
$f(x,y) = xy + y^n \quad n \geq 2$
-
$f(x,y) = xy + x^n \quad n \geq 2 $
Ornegin sonuncusu icin $$\langle \partial_x f, \partial_y f \rangle = \langle y + nx^{n-1},x \rangle = \langle x, y \rangle$$ oldugunu goruyoruz cunku $$ y + nx^{n-1} = nx^{n-2}\; x + 1 y\in \langle x, y \rangle\; \\x = 1 x + 0 y \in \langle x,y \rangle$$
ve dolayisiyla $\langle \partial_x f , \partial_y f\rangle \subseteq \langle x, y \rangle$ ve de
$$x = 0(y+nx^{n-1}) + 1x \in \langle \partial_x f , \partial_yf\rangle \\ y = 1(y+nx^{n-1}) + (-nx^{n-2})x \in \langle \partial_x f, \partial_y f \rangle$$ ve dolayisiyla $\langle x,y \rangle \subseteq \langle \partial_x f , \partial_y f \rangle$.
Baska ornekler var mi? Varsa en genel hal nedir? Uc degiskenliler icin ne soyleyebiliriz?