Öncelikle $$0\longleftarrow \mathbb{Z}\longleftarrow^{\epsilon}X_0\longleftarrow^{d_1}X_1\longleftarrow^{d_2}X_2\longleftarrow^{d_3}\cdots$$dizisinin her terimde net olduğunu göstereceğiz. Şöyle bir numara çevireceğiz. $d_i$'lerin ve $\epsilon$'nun ters yönünde $$E:\mathbb{Z}\longrightarrow X_0$$ ve $$D_i:X_i\longrightarrow X_{i+1}$$homomorfizmalarını$$E\circ \epsilon+d_1\circ D_0=id_{X_0}\qquad\qquad(*)$$ve$$D_{r-1}\circ d_r+d_{r+1}\circ D_r=id_{X_r}\qquad\qquad(**)$$eşitliklerini sağlayacak ve $D_i$'lerin görüntüsünde bütün $(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i+1})$, $i+1$-çoklularının bulunacağı biçimde tanımlayacağız.
İddia: .Yukarıdaki gibi $E$ ve $D_i$ homomorfizmalarının varlığı elimizdeki dizinin her noktada net olduğu sonucunu doğurur.
İspat: Diyelim ki yukarıdaki gibi $E$ ve $D_i$ homomorfizmaları varolsun. Öncelikle $X_0$'de netliği ispatlayacağız. Yani $\ker\epsilon)=im(d_1)$ olduğunu göstereceğiz. $x\in \ker (\epsilon )$ olsun. $(*)$ sayesinde $$x=E\circ \epsilon(x)+d_1\circ D_0(x)=d_1\circ D_0(x)$$eşitliğini elde ederiz ki bu $x\in im(d_1)$ demek. Öte yandan $d_1(\sigma)=\sigma-1$ ve $\epsilon(\sigma-1)=1-1=0$. Yani $$\ker(\epsilon)=im (d_1)$$ Geri kalan noktalardaki netliği göstermek için tümevarım yapacağız. Diyelim ki $r\geq 1$ için $$d_{r-1}\circ d_r=0$$ olsun (burada $r=1$ olduğu durumda $d_0$ olarak $\epsilon$ alıyoruz)Tümevarım hipotezimizi iki farklı şekilde ($(**)$ eşitliğini kullanarak) şu eşitlikleri elde ederiz:$$d_r=(D_{r-2}\circ d_{r-1}+d_r\circ D_{r-1})\circ d_r=d_r\circ D_{r-1}\circ d_r$$ve$$d_r=d_r\circ(D_{r-1}\circ d_r+d_{r+1}\circ D_r)=d_r\circ D_{r-1}\circ d_r+d_r\circ d_{r+1}\circ D_r.$$Bu iki eşitliği taraf tarafa çıkartırsak $$d_r\circ d_{r+1}\circ D_r=0$$ eşitliğini elde ederiz. $D_r$'nin görüntüsünde bütün $(\sigma_1,\cdots,\sigma_{r+1})$ biçimindeki elemanlar olduğu için en son eşitlik pratikte $d_r\circ d_{r+1}=0$ demek. Yani$$im (d_{r+1})\subseteq \ker(d_r).$$Şimdi diğer içerme ilişkisinin doğru olduğunu gösterelim. Bu taraf çok daha kısa. Yine $(**)$ eşitliğini kullancağız. Diyelim ki $x\in\ker d_{r}$ (yani $d_r(x)=0$) olsun. Dileğimiz $x$'in $d_{r+1}$'in görüntüsünde olduğunu göstermek. $(**)$ eşitliğini $d_r(x)=0$ bilgisiyle beraber kullanırsak şunu elde ederiz:$$x=id_{X_r}(x)=D_{r-1}\circ d_r(x)+d_{r+1}\circ D_r(x)=d_{r+1}(D_r(x))\in im(d_{r+1})$$ Sonuç olarak $$im(d_{r+1})=\ker (d_r)$$bulunur, bu da elimizdeki dizinin net olduğunu gösterir iddianın ispatı biter.$_\square$
O halde, iddiayı kullanabilmek için sözü geçen $E$ ve $D_r$ homomorfizmalarını tanımlamalayız. Tanım:
-
$E:\mathbb{Z}\longrightarrow X_0$ homomorfizması $1\longmapsto 1$ eşlemesini lineer olarak genişleterek;
-
$D_0:X_0\longrightarrow X_1$ homomorfizması $\sigma\longmapsto\sigma$ eşlemesini lineer olarak genişleterek;
-
$q\geq1$ için $D_q:X_{q}\longrightarrow X_{q+1}$ homomorfizmasını $\sigma_0(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\longmapsto(\sigma_0,\sigma_1,\cdots,\sigma_r)$ lineer olarak genişleterek
tanımlıyoruz.
İddia: $E,D_r$ homomorfizmaları $(*)$ ve $(**)$ eşitliklerini sağlar.
İspat: Bunun için doğrudan hesap yapmak gerekiyor. Özel hiçbir yetenek gerekmiyor. Gösterelim. $D_{r-1}\circ d_r+d_{r+1}\circ D_r$'yi hesaplayacağız. Önce $d_{r+1}\circ D_r$ parçasını hesaplayalım. $$d_{r+1}\circ D_r (\sigma_0(\sigma_1,\cdots,\sigma_r))=d_{r+1}(\sigma_0,\sigma_1,\cdots,\sigma_r))\\=\sigma_0(\sigma_1,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{i=1}^{r}(-1)^i(\sigma_0,\cdots,\sigma_{i-2},\sigma_{i-1}\sigma_i,\sigma_{i+1},\cdots,\sigma_r) \qquad \text{($i$'inci parçaya $A_i$ diyelim)}\\+(-1)^{r+1}(\sigma_0,\cdots,\sigma_{r-1})\qquad\text{(Bu parçaya da $A$ diyelim)}$$Şimdi de $D_{r-1}\circ d_r$ parçasını hesaplayalım: $$D_{r-1}\circ d_r(\sigma_0(\sigma_1,\cdots,\sigma_r))=D_{r-1}(\sigma_0d_r(\sigma_1,\cdots,\sigma_r))\\=D_{r-1}\Big[\sigma_0(\sigma_1\Big(\sigma_2,\cdots,\sigma_r)\\+\sum_{i=1}^{r-1}(-1)^i(\sigma_1,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_i\sigma_{i+1},\sigma_{i+2},\cdots,\sigma_r)\\+(-1)^r(\sigma_1,\cdots,\sigma_{r-1})\Big)\Big]$$Birinci satırdaki eşitlik, $d_r$'nin $G$-homomorfizması olması nedeniyle doğru. O sayede $\sigma_0$ elemanı $d_r$'nin dışına çıkıyor. Şimdi de $D_{r-1}$'i uygulayalım. Tanımı uygulayarak şu elemanı elde ederiz:$$(\sigma_0\sigma_1,\sigma_2,\cdots, \sigma_r)\qquad\text{(Bu parçaya $B_1$ diyelim)}\\+\sum_{i=1}^{r-1}(-1)^i(\sigma_0,\cdots,\sigma_{i-1},\sigma_{i}\sigma_{i+1},\sigma_{i+2},\cdots,\sigma_r)\qquad\text{($i$'inci parçaya $B_{i+1}$ diyelim)}\\+(-1)^r(\sigma_0,\cdots,\sigma_{r-1})\qquad \text{(Bu parçaya da $B$ diyelim)}$$ Dikkat edilirse $$\text{$A_i=-B_i$ ve $A=-B$}$$ eşitlikleri Elf gözlerden kaçmayacaktır. O halde iki ifadeyi toplarsak istediğimiz sonucu elde ettiğimiz görülebilir.
İşin yarısı bitti. Şimdi negatif indeksli terimlerden oluşan dizinin net olduğunu göstermeliyiz. Bunun için de bakınız diğer yanıt.