İki köklü ifade arasındaki tam sayılar

Question

Merhaba, olimpiyat sorularına çalışırken bir soruya rastladım $x=3^{2007}$ olmak üzere, $\sqrt{x^2+2x+4}$ ve $\sqrt{4x^2+2x+1}$ sayıları arasında kaç tamsayı vardır?

Ne denediğime gelirsek cevabında eşitsizlik yazmış fakat neye göre nasıl yazdı anlamadım belki çarpanlardandır diye düşündüm oradan da çıkmadı

Comments

Soru boyle galiba. Bu sekilde duzenledim. Kodlari inceleyerek ogrenebilirsin neler yaptigimi...

Ayrica LaTeX ogrenimi arttirmak icin video serisini takip edebilirsin: http://matkafasi.com/112866/matematik-kafasi-latex-video-serisi

Hatta sirada uslu ve koklu ifadeler videosu var... (gibi).

---

Doğru hocam teşekkürler telefondan düzenleyemedim

Answer 1

ic ifadeleri duzenlersek $$x^2+2x+4=(x+1)^2+3$$ ve $$4x^2+2x+1=4\left(x+\frac14 \right)^2+\frac34=\left(2x+\frac12 \right)^2+\frac34$$ olur. Buradan $$(x+1)^2<x^2+2x+4 < (x+2)^2$$ ve $$(2x)^2<4x^2+2x+1<(2x+1)^2$$ oldugunu gormek zor degil. Demek ki aradaki tam sayilar $$x+2,\; x+3,\; \cdots,\; 2x$$ olur. Yani arada $$2x-(x+2)+1=x-1=3^{2007}-1$$ sayi olur. 

Comments

Meğersem çok kolay geliyormuş hocam çok teşekkürler aşırı yardımcı oldunuz