Harmonik ortalama/2

Question

a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere $\frac{a.b}{a+b}$ ifadesini tam sayı yapan a,b pozitif ikilileri nelerdir? 

İfadeyi bir c tam sayisina esitleyip bir seyler yapmaya calissam da yine benzer ifadeler geldi, ne yapmaliyim?

(Basliga ne yazacagimi bilemedim)

Answer 1

$a,b\in\mathbb{Z}^+$ için $\dfrac{ab}{a+b}=\dfrac{1}{\frac1a+\frac1b}$ dir, bu ifadenin tamsayı olmasını istediğimiz için elimizde 3 ihtimal var, bunlardan birincisi $\dfrac1a+\dfrac1b=1$ olması, bu bize $\{2,2\}$ çözümünü verir. Ikincisi ise $a$ ve $b$ çiftken $a=b$ koşulunun sağlanması, $a=2n$ ve $b=2n$ için $\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{n}$ olduğu durumlar bize sırasıyla $n=2,4,6,\cdots$ için çözümler veriyor.  Üçüncüsü ise $\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1n$ olması ki bu durumda $a\leq b$ için $a=n+1$ ve $b=n(n+1)$ olur. Bu şekilde birkaç tane ikili yazalım $$n=2 \text{ için } a=3, b=6\\n=3\text{ için } a=4, b=12\\n=4\text{ için } a=5, b=20\\n=5\text{ için } a=6, b=30\\.\\.\\.$$

Comments

$a=4$  ve $b=12$ de oluyor. Veya $a=5$ ve $b=20$

---

Alt tarafın basit kesir olabileceğini kaçırmışım nedense, teşekkür ederim uyardığın için.

---

$a=6$ ve $b=6$ , $a=8$ ve $b=8$ de oluyor.

---

Kafam çok dağınık bugün , sağol bunu da ekleyeyim.

Answer 2

Bir $n$ tam sayisi icin $$\frac{ab}{a+b}=n$$ ise $$(a-n)(b-n)=n^2$$ olur ve cozum kumesi $$A_n:= \left\{ \left(d+n,\frac{n^2}{d}+n\right) \: : \: d\mid n^2 \;\;\; \text{ ve } \;\;\; d\in \mathbb Z^{+} \right\}$$ olur. ($n\mid m$ notasyonu $n$ tam sayisi $m$ tam sayisini tam boler anlaminda). Dolayisiyla tum kume $$\bigcup_{n=1}^\infty A_n$$ olur.