Kuvvet yükseltme önsavı -- Lifting the exponent lemma

Question

http://matkafasi.com/77237/3-n-basamakli-111-11-sayisinin-3-ile-bolundugunu-gosteriniz#c113524

Yukardaki sorunun çözümünde kullandığım yöntemi paylaşacağım. İspatını yapabiliriz ve örnek sorular koyabiliriz.

Tanım :  Bir $p$ sayısının $n$ sayısını böldüğü en büyük kuvvet  $v_{p}(n)$ olarak gösterilsin.

Örneğin $v_{2}(100)=2$ dir.

$p\neq2$ asal sayı ve $p|x-y$ olsun. $p\nmid x$ ve $p\nmid y$ olsun. $x$ , $y$ $0$ dan farklı tamsayılar ve $n$ pozitif tamsayı.

                                                      $v_{p}(x^n-y^n)= v_{p}(x-y) + v_{p}(n)$ 

$p=2$ ve $2\mid n$  için

                                           $v_{2}(x^n-y^n)= v_{2}(x-y) + v_{2}(x+y) + v_{2}(n) - 1$                                

Comments

Cift icin $x=3$, $y=1$ ve $n=1$  olsun. $v_2(3+1)+v_2(1)-1=1$ olur ama $0$ olmasi gerekmez mi?

---

Bir bilgiyi eklemeyi unutmuşum.

Answer 1

$p$ tek asal sayi olsun.

Elimizde $$x\equiv y \mod p$$ var. Bu durumda $$(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})\equiv nx^n \mod p$$ olur.

Eger $p\nmid n$ ise iki tarafin $p$-kuvveti de $0$ olur.

Eger $n=p$ ise $$x\equiv y+pk \mod p^2$$ olarak yazalim. Bu durumda $$(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})\equiv \sum_{i=0}^{p-1}y^i(y^{n-i}+p(p-i)y^{n-i-1})  \mod p^2$$$$\equiv py^n+\frac{p(p-1)}{2}py^{p-1}\equiv py^p \equiv py  \; {\color{gray}{\not \equiv 0}} \mod p^2$$ olur. Yani her iki tarafin $p$-kuvveti $1$ olur. ($p\ne 2$ oldugundan $(p-1)/2$ bir tam sayi).

Bu ikisini kullanarak genel hali ispatlayailiriz: $n=p^{s}t$ olarak yazalim, $\nu_p(n)=s$ olmak uzere. Bu durumda ilk durumdan dolayi $$\nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x^{p^s}-y^{p^s})$$ olur. Ikinci durumdan dolayi $$=\nu_p((x^{p^{s-1}})^p-(y^{p^{s-1}})^p)=1+\nu_p(x^{p^{s-1}}-y^{p^{s-1}})$$ olur. Dolayisi ile tumevarim uyguladigimizda $$\nu_p(x^n-y^n)=\nu_p(x-y)+\nu_p(n)$$ esitligini elde ederiz.