Küresel üçgenin iç açıları toplamı kaçtır?

Question

Küresel üçgenin iç açılar toplamının 540 dan küçük olduğunu nasıl ispat edebilirim.180 den büyük oldğunu çıkarabiliyorum fakat 540 dan küçüklüğünü yapamadım yardım edebilirmisiniz?

Answer 1

Gauss-Bonnet teoremine gore bir S yuzeyindeki ABC geodezik ucgeninin ic acilari toplami $$A+B+C=\pi+\int K(p)$$ ile verilir. Yaricapi 1 olan bir kure icin $K(p)$ egrilik katsayisi her p noktasinda 1 olacagindan teorem kure icin $$A+B+C=\pi+alan(ABC)$$ seklini alir. Kurenin alani $4\pi$ birim kare oldugundan uzerindeki en buyuk alanli ucgen alaninin ust siniri $2\pi$ olmali. Bu durumda ic acilar toplaminin ust siniri $3\pi$ olmalidir. Boyle bir ucgenin $(0,0,1)$ kuzey kutup noktasindan cikan iki kenari $(0,0,-1)$ guney kutup noktasinin cok yakininda bitmeli.

Comments

Sanki ic acilar hep 180den kucuk olmali. Bir acisi 180den buyuk olabilen ucgenin olabilecegi bir yer var mi? 

---

Kuresel ucgen merkezden gecen 3 duzlemin kure ile arakesiti ile ya da 3 buyuk dairenin kureyi 8 parcaya ayirmasi ile elde ediliyor. Olusan karsilikli ucgenler birbirine es oluyorlar. Her kuresel ucgene bir uc yuzlu karsilik geliyor, bunun tersi de dogru. Acilar uc yuzlunun duzlemleri arasindaki acilara karsilik geliyor. Olusan ucgenlerin birinin ic acisi ile digerinin dis acisi toplami 180 derece olacagindan (acilar biribirine komsu) bir aci 180 dereceyi asmamali. Duzlemdeki ucgenden farkli olarak uc aci toplami sabit olmayip alanla orantilidir. Acilar toplaminin 180 dereceyi asan kismina "ekses"  deniliyor ve alanla orantili.

---

Kure uzerinde 3 nokta alip bunlari geodezik yaylarla birlestirmek suretiyle kuresel ucgen elde ederiz ama yukardaki anlatim aci durumunu gorsel olarak daha iyi anlatir diye dusundum.

---

`Olusan ucgenlerin birinin ic acisi ile digerinin dis acisi toplami 180 derece olacagindan (acilar biribirine komsu) bir aci 180 dereceyi asmamali. '

Direkt buradan da sorunun cevabini verebiliriz o zaman? $$a+b+c<180+180+180=540.$$

---

Sanirim oyle olmali. 180 dereceden buyuk olma durumunu da soru sahibi paylasirsa iyi olur.