$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$

Question

İntegralini hesaplayınız.                                        

Comments

Acaba sorunuz $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\sin^2x}}{\sqrt[3]{\sin^2x}+\sqrt[3]{\cos^2x}}dx$$ şeklinde olabilir mi? Kontrol edebilir misiniz?

---

aynen öyle yanlış yazmışım

---

Şimdi kolay artık. $$x=\frac{\pi}{2}-y$$ dönüşümü yap ve sonuçlarına katlan.

Answer 1

$x=\frac{\pi}{2}-y\Rightarrow dx=-dy$

$x=0$ için $y=\frac{\pi}{2}$ ve $x=\frac{\pi}{2}$ için $y=0$ olur. O halde

$$I=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}\dfrac{\sqrt[3]{\sin^2(\frac{\pi}{2}-y)}}{\sqrt[3]{\sin^2(\frac{\pi}{2}-y)}+\sqrt[3]{\cos^2(\frac{\pi}{2}-y)}}(-dy)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sqrt[3]{\cos^2y}}{\sqrt[3]{\cos^2y}+\sqrt[3]{\sin^2y}}dy$$

$$\Rightarrow$$

$$2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\dfrac{\sqrt[3]{\sin^2y}}{\sqrt[3]{\sin^2y}+\sqrt[3]{\cos^2y}} + \dfrac{\sqrt[3]{\cos^2y}}{\sqrt[3]{\cos^2y}+\sqrt[3]{\sin^2y}}\right)dy=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dy=\frac{\pi}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi}{4}$$