$\forall x\in\mathbb{R}$ için $e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ve
$\sin x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
olduğu Kolayca(!) ispatlanıyor.
$x\in\mathbb{R}$ olmak üzere $ix$ için de birinci özdeşliğin sağlandığını kabul edelim
(aksi halde $e^{z}$ nin bir tanımı gerekecek ve o tanımdan, büyük bir olasılıkla, bu eşitlik hemen elde edilecektir)
Her $n\geq0$ için $i^{2n}=(-1)^n$ ve $i^{2n+1}=(-1)^ni$ olduğunu kullanarak:
(İlk çözümde aşağıdaki serilerin sırası ters idi düzelttim)
$\displaystyle e^{i\pi}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(i\pi)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{\pi^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos \pi+i\sin\pi=-1$
elde edilir.
(Aynı şekilde, her $x\in\mathbb{R}$ için $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ elde edilir.)
4. satıra ek:
(veya $e^{ix}$ in tanımı olarak alalım. Aynı seri, karmaşık sayılarda da mutlak yakınsaktır)