(Altın oranla ilgili bir önerme) $ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $|DC|=|AB|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım.

Question

Önerme. $ABC$  üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $|DC|=|AB|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $m(\widehat{BAD})=\alpha$,  $m(\widehat{ABD})=\theta$   ve  $m(\widehat{ACD})=\beta$  olsun. Altın oran $\phi$ ile sembolize edilsin. Gösteriniz ki $$\dfrac{\sin(\alpha+\theta)}{\sin\alpha}=\phi$$   ise  $\alpha=\beta$  dır. (M.Yağcı,2002)

ilgili bağlantı

Not: Önerme ilk olarak kim(ler) tarafından verildi bilemiyorum. Ama bizde bildiğim kadarıyla ilk olarak M.Yağcı vermiş.

Comments

Direk dar açılarda $\dfrac{\sin{(\alpha+\theta})}{\sin\alpha}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$ ise $\alpha+\theta=72^\circ$ ve $\alpha=36^\circ$ diyerek çözmek yasal mıdır hocam? (Daha doğrusu, ispatlamak gerekli mi?)

---

Esitligi saglayan baska acilar da olabilir Deniz. Mesela 54 ve 30 gibi. Kanit lazim velhasil.

Answer 1

$|AB|=a$, $|BD|=b$ olsun. $\dfrac{\sin(\alpha+\theta)}{\sin\alpha}=\dfrac{a}{b}=\phi$ ve $\phi^2=\phi+1$ olduğunu biliyoruz. O halde $\left(\dfrac{a}{b}\right)^2=\left(\dfrac{a}{b}\right)+1\Rightarrow a^2=b(a+b)$,  $|DC|=a$ olduğundan $D$ noktasında dış kuvvet sağlanır, $A,D,C$ çembersel ve $|BA$ bu çembere teğettir. $$\alpha=\theta.$$

Comments

Tesekkurler Deniz. Benzer kaniti M.Yagci da vermis.

---

Rica ederim hocam:)