Question

$P(x)=x^{2009}+x^{199}$ polinomunun $x^2+x+1$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Answer 1

$$x^2+x+1=0$$

$$x^2=-x-1$$ olur. Eşitliğin her iki tarafını $x$ ile çarpalım

$$x^3=-x^2-x=-(-x-1)-x=1$$ yeniden her iki tarafı $x$ ile çarpalım.

$$x^4=x$$ olur. Böylece $x$'in $3$'e tam bölünen kuvvetleri $1$'e, bir kalanı veren kuvvetleri  $ x$'e ve iki kalanı veren kuvvetleri de $-x-1$'e denktirler. 

Verilen polinomun $x^2+x+1$'e bölümünden elde edilen kalan $$x^2+x= -x-1+x=-1$$ dir.

Answer 2

Ipucu: $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ oldugundan $x^3\rightarrow 1$ donusumu yapabiliriz.