Ardışık sayıların tam kare toplamları

Question

Şimdi $1^2+2^2+3^2+....19^2 = ?$ bulmak için $\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6} $formülü var biliyorum.Ben burada formülsüz bulmak istedim.Bu ifadeyi

$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$

$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy $

şeklinde düşünerek:

$1^2+2^2+3^2+....19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))$

şeklinde düznledim.

Burada $-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))$

ifadesini bulmak için $A=\{1,2,3,4,.....,19\}$ kümesinin iki elemanlı altkümelerinin 

elemanları toplamı kaçtır şeklinde düşündüm.

Buradan (bu kısımdan emin değilim) her sayı toplamda 18 kere olacağından yani

$(1,2),(1,3),(1,4),....(1,19) ->$ 18  tane 1 var

$(2,1),(2,3),(2,4),....(2,19)->$  18 tane 2 var

$(3,1),(3,2),(3,4),....(3,19)->$  18 tane 3 var

$.$
$.$
$.$
$(19,1),(19,2),(19,4),....(19,18)->$  18 tane 19 var

buradan $((1+2)+(1+3)+(1+4)+........+(18+19))  = 18.(1+2+3+....+19)$ buldum.
Yani sonuç olarak

$\sum_{i=1}^{19} i^2 = (\sum_{i=1}^{19} i)^2-2(18(\sum_{i=1}^{19} i))$

$(\sum_{i=1}^{19} i )^2= (\frac{19.20}{2})^2 = 190^2 = 36100 $       $ (\frac{n.(n+1)}{2}) $Gauss Formülü

$-2(18(\sum_{i=1}^{19} i)) = -6840$

İşlemleri yerleştirirsek :

$\sum_{i=1}^{19} i^2 = 36100 - 6840 = 29260 $

Olur fakat formülü kullanırsak
$\frac{n.(n+1).(2n+1)}{6} = \frac{19.20.39}{6} = 2470 $ çıkar.

Hatam nerede bilmiyorum.Formülün ispatınıda bulamadım .
Eğer biliyorsanız yazar mısınız?Ve hatamı bulursanız söyleyebilir misiniz?




\sum_{i=0}^n i^2 m_{i=0}^n i^2

Comments

Kareler toplami icin yazdiginix esitlik dogru degil. Ornegin $1^2+2^2+3^2$  icin deneyin.

---

$1^2+2^2+3^2+...+19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1+2)+(1+3)+(1+4)+...+(18+19))$

doğru değil

$1^2+2^2+3^2+...+19^2 = (1+2+3+....+19)^2-2((1\times2)+(1\times3)+(1\times4)+...+(18\times19))$

olur.

---

Kanıtını Bernoulli yapıyor bu tarz serileri tamamını tek bir formüle bağlı bulabiliyoruz, sanırım Teleskopik seri olarak geçiyor. Bulamazsan gayet bariz bir kanıtını yazarım

---

Kanıtınız  cevapta verilenden farklı ise (baktıysanız cevapta da Bernoulli geçiyor) paylaşmanızda fayda var.

Answer 1

Yanit icin Bakiniz

Comments

Geometrik bir yol bulmaya calistim ama beceremedim.

---

Çok sevdiğim geometrik bir çözümü var bunun. Bir ara paylaşırım. 

Answer 2

Merhaba , benim adım Polat , bence 6.satırda bir hata var . Kanımca , eşitlik şöyle olmalı :

Sorunun her ilk iki bileşeni kendi aralarında toplanırsa , mesela 1^2 + 2^2 şeklinde .

Nihai olarak , ( 1 + 2  )^ 2 - 2 . ( 1 . 2 )

                                  +

                    ( 3 + 4 ) ^ 2 - 2 . ( 3 . 4 )

                                  +

                    ( 5 + 6 ) ^ 2 - 2 . ( 5 . 6 )

                                   +

                                ........

                                   +

                  ( 18 + 19 ) ^ 2 - 2 . ( 18 . 19 )

Şeklinde olmalı , yani özetle 6 .satırda sağ ve sol ifadeler birbiri ile eşleşmiyor .

İyi günler