Yakınsaklık ve Rasyonel Sayı dizileri hakkında

Question

Öncelikle merhaba son bir kaç haftadır seriler ve diziler ile haşır neşirim daha doğrusu bu işe gönül vermiş bulunmaktayım; ve bu kısımda bazı sorularım mevcut,

 Rasyonel sayı dizisinde şu iki denklik yazılıyor =

$x_n$ bir rasyonel sayı dizisi olsun ve $x \in \mathbb{Q}$ ise, aşağıdakiler sağlanır:

i) $x_{n} \rightarrow x$

ii)Verilen her $e \in \mathbb{Q^+}$ için öyle bir $n_0=n_{0}(e)$ doğal sayısı vardır ki $n \geq n_0$ $\Rightarrow$ $\left| x_{n}-x\right|$ $<e$ olsun.

 Benim sorum da şudur ;

-Neden $n \geq n_0$ bu tarz bir koşul var yani burada $n_0$ diyerek ne demek istiyoruz ($n_0$ kitaplarda $N$ diye geçebilir).

 Halen düşünmeme rağmen mantıklı bir sebep bulamadım şimdiden teşekkürler ve elbet kaynak önerilerinize açığım.

Comments

Kitap $x_n\to x$ tanimini nasil vermis?

---

Direk size aktarıyorum hocam, "$x_n$ bir rasyonel sayı dizisi ve $x \in \mathbb{Q}$ olsun. Eğer verilen her $e \in \mathbb{Q^+}$ için $x_n$ dizisinin $x-e$ ve $x+e$ arasında bulunmayan terimlerinin sayısı sonlu ise, bu dizi $\mathbb{Q}$ içinde $x$'e yakınsar denir. Bu durumda, bu diziye \mathbb{Q} içinde yakınsak bir dizi, $x$ sayısına da dizinin limiti denir ve $x_n \rightarrow x $ yazılır."

Answer 1

$x_n \to x$ demek bu dizinin terimleri $x$'e yaklaşıyor demek. Yani her $\epsilon$ için bir süre sonra $x$'in $\epsilon$-komşuluğuna düşecek her eleman. Hemen olmayabilir. İlk bir milyon terim dışarıda kalabilir, ama bir süre sonra o $\epsilon$-komsuluğuna düşecek ve çıkamayacak olman gerekiyor. Işte o $n_0$, oradaki "bir süre sonra"yı temsil ediyor. Bir noktadan sonra her şey o komsulukta.

Comments

Peki neden n'den büyük olmak zorunda bu bir biçimde garantileme gibi bir şey mi ?

---

Evet. $n_0$'ıncı terimden sonraki her terim o komsulukta demiş oluyorsun. 

Böyle kelimelerle anlatmayı denersen daha iyi. Semboller kafa karıştırıyor ve olayın özünü kacirabiliyorsun.

---

Peki hocam çok teşekkürler şimdi kavradım çok yardımcı oldunuz. Peki bildiğiniz sağlam bir kaynak var mı?

---

Ozgur, $x_n\to x$ tanimini ne aldik peki. Yaklasiyor dedigin yaklasma nedir?

Anladigim kadariyla $(i) \iff (ii)$ oldugunu gosetermemiz isteniyor.

---

Arda'nın sorduğu soru $n_0$'ın anlamının ne olduğuydu, o denkliğin neden doğru olduğu değil.

---

O zaman soruyu Arda'ya ceviriyorum. Soru yorumu olarakk, yukarida...