Verilen bir üçgenin kenarortaylari daima bir ucgen olusturur mu?

Question

Bir üçgen verildiğinde ucgenin kenarortaylari ile daima bir ucgen olusturabilir miyiz?

Ilgili baglanti

Comments

Bu tarz bir şey mi isteniyor hocam, uygunsa cevaba donustureyim...

---

Evet, bu da olur; sen 2/3 uzunluklu kenarortay ucgeni olusturuyorsun.

---

Oluşturabilir çünkü kenarortaylar ucgenin ağırlık merkezinde kesişecekler ve her zaman 2/1 oranı olacak

---

Dedikleriniz cok sezgisel kaliyor. Ucgen olusma sartini sagladigini ya cebirsel ya da geometrik olarak gostermeliyiz.

Answer 1

Verilen $ABC$  ucgensel bolgesinin ağırlık merkezi $G$  olsun. Bu durumda $$-\vec{GA}=\vec{GB}+\vec{GC}$$ yani    $-\vec{V_a}=\vec{V_b}+\vec{V_c}$    yazabiliriz. Vektörleri paralelkenar metoduna göre toplayarak kolayca kanıtlayabilirsiniz. Norm alıp üçgen eşitsizliğini kullanarak $$|\vec{V_b}-\vec{V_c}|<|\vec{V_a}|=|\vec{V_b}+\vec{V_c}|<|\vec{V_b}|+|\vec{V_c}|$$  elde olunur. Yani bir üçgen verildiğinde üçgenin kenarortayları üçgen eşitsizliğini sağladığından, kenarları kenarortaylardan oluşan kenarortay üçgeni her zaman vardır. Bu olgu üçgenin yükseklikleri ve açıortayları için doğru değildir.

Comments

Alper hocam $|V_b+V_c|<|V_b+V_c|$ olmuş.Yani aynı vektörün normu kendinden küçük olmuş. Sanıyorum bir yanlışlık var. Ayrıca yazılan eşitsizliğin nasıl yazıldığını göstermek mümkün mü?

---

Hocam ilk cumlenizi anlayamadim. Kanit olarak da ucgen esitsizligini mi kanitlayalim?;Oyleyse bir kaniti var olabilir sitede.

---

Sanıyorum eşitsizlik yeniden düzenlendi. Problem yok.