Question

$Carath\acute{e}odory\text{'}s \ \ Theorem:$ $I\subseteq\mathbb{R}$  aralık ve  $a\in I$ olmak üzere $$f, \  a\text{'da türevli}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left(\exists \varphi \in \mathbb{R}^I \ \ a\text{'da sürekli}\right)(\forall x\in I)(f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a))$$

Answer 1

Kanıt: 

$(\Rightarrow):$ $f, \ a\text{'}$da türevli  olsun. $f, \ a\text{'}$da türevli ise $f'(a)$ mevcuttur. Bu durumda $$\varphi(x):=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} & , & x\neq a \\  f'(a) & , & x= a \end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$\varphi :I\to \mathbb{R}$$ fonksiyonunu tanımlayabiliriz.

$$\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\varphi (a)=f'(a)$$ olduğundan $\varphi$ fonksiyonu $a$ noktasında süreklidir.

$x=a$  ise  $f(x)-f(a)=0$  ve  $\varphi (x)(x-a)=0$  olup $$f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a)$$ eşitliği sağlanır.

$x\neq a$ ise $\varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ olup $$f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a)$$ eşitliği sağlanır.

$(\Leftarrow):$ $a$  noktasında sürekli ve her $x\in I$  için  $f(x)-f(a)=\varphi (x)(x-a)$  eşitliğini sağlayan bir $$\varphi:I\to\mathbb{R}$$ fonksiyonunun mevcut olduğunu varsayalım.

$$x-a\neq 0\Rightarrow \varphi (x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ ve 

$$\varphi :I\to \mathbb{R}$$ fonksiyonu $a$ noktasında sürekli olduğundan 

$$\varphi (a)=\lim\limits_{x\to a}\varphi (x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ olup limit mevcuttur. O halde $f$ fonksiyonu $a$ noktasında türevlenebilirdir ve $$f'(a)=\varphi (a).$$