Question

Farklı rakamlardan oluşan, $3$ basamaklı, rakamlarının toplamı $21$ olan kaç sayı vardır?

$A)14$

$B)18$

$C)22$

$D)24$

$E)30$

$cevap : 18$

İlk önce 9 elemanını sabitleyip diğerler iki elemanı hareket ettirdim.

$9,a,b$

$a+b = 12$

$a = 8 $ için $b = 4$

$a = 7 $ için $b = 5$

$a = 5 $ için $ b = 7$

$a = 4 $ için $ b = 8$

4 durum

ama 9 orta ve sonda olabileceğinden

$4.3 = 12$ durum

$8,a,b$

$a+b = 13$

$a = 7 $ için $b = 6$

$a = 6 $ için $b = 7$

2 durum

ve 8'in hareketlerinden

$2.3 = 6$

$7,a,b$

$a + b = 14$

ama $ max(a+b) = 11 => $$(5+6)$ 

,

buradan sonuç $12 + 6 = 18$ olur.

Benim sorum ise bunu böyle açmadan daha genel bir sonuca çevirmek.

Yani 

Farklı rakamlardan oluşan, $m$ basamaklı, rakamlarının toplamı $n$ olan kaç sayı vardır?

sorusunun cevabı.Biraz uğraştım fakat sonuç nafile.Yardım ederseniz sevinirim.

Comments

Sayıdaki her bir rakamın $4$ veya daha büyük olduğuna dikkat edelim.

---

"Farklı rakamlardan oluşan, m basamaklı, rakamlarının toplamı n olan kaç sayı vardır?"

Zor bir soru, farkli rakamlarla olmasa da... Genel olarak $$(x+\cdots+x^9)(1+x+\cdots+x^{9})^{m-1}$$ polinomunda $x^n$ katsayisini bulmaya calisabiliriz. Tabi burada rakamlar ayni da olabiliyor.

---

Rakamların farklı olma durumunu kaldırdığımızda bende dağılım'dan bir şeyler yaptım.

$ n = 1+1+1+.....+1 ($$n $ $tane 1)$

bu birleri ayraçlar ile ayırır isek $ m-1 $ adet ayraca ihtiyacımız olur.

buradan$\frac{(n+(m-1))!}{n!.(m-1)!}$ olur.

Sercan hocam dediğinizi burada açtım. ($m = 3$ için)

polynomial_expand  örneğin $x^{21}$ katsayısı: $28$ geliyor.

ilk başta sizin verdiğinizde bir hata olduğunu düşündüm fakat 

rakamları toplamı 11 olan kaç tane 3 basamaklı sayı vardır? buradaki destekledi.

Yani sıkıntı benimkinde ama nerede olduğunu bulamadım.

---

Manasi anlasilsin diye acik yazdim ifadeyi: $$\frac{x(x^9-1)(x^{10}-1)^{m-1}}{(x-1)^m}$$ olarak da yazilabilir. 



Bu ayrac islerinde usten 9 sinir oldugunu atlamissin. Ayrica ilk basamak da sifir olamaz, bunu da gozden kacirmamak gerekli.

Answer 1

Rakamlar toplami $21$ oldugundan hicbiri $0$ olamaz ve azalan sirada yazdigimizi permute edersek $6$ farkli sayi elde ederiz. Bu sekilde  yazilabilecek sayilar $$984$$$$975$$$$876$$ oldugundan toplamda $18$ tane bu sekilde yazilabilen sayi vardir.

(Youmlarin disinda) Genellestirme kolaycana yapilabilir. En fazla on basamakli sayi elde edecegimizden bunlari fazla islem yapmadan bulabiliriz. 

Eger basit bir program yazilirsa kisa surede tum olasi $(n,k)$ degerleri icin rakamlari farkli $n$ basamakli, rakamlari toplami $k$ olan tum sayilar bulunabilir. Fakat program yazmaya da pek gerek yok. 

Bu methodu uygulamakta zorlanirsaniz yorum olarak sormaktan cekinmeyin!