Diyelim ki elimizde gruplardan oluşan şu biçimde bir kısa net dizi (short exact sequence) olsun: $$0\longrightarrow A\stackrel{i}{\longrightarrow} G\stackrel{j}{\longrightarrow} H\longrightarrow 0$$Yani $i$ birebir, $j$ örten ve $im(i)=\ker(j)$. $A$ grubumuzun değişmeli olduğunu varsayalım ve $X$ kümesi de $G$ içinde $H$ için temsiciler kümesi olsun. Temsilciler kümesi demek $H$'deki her $h$ için $X$ içinde $j(g_h)=h$ eşitliğini sağlayan biricik bir $g_h$ elemanı mevcut demek. Bu aslında $f:H\longrightarrow G$ biçiminde ve $$j\circ f=id_H\qquad\qquad(*)$$koşulunu sağlayan $f$ fonksiyonu vermekle aynı şeydir. $X$ verildiğinde $f_X$ (yani $X$ yardımıyla tanımlanan $(*)$ koşulunu sağlayan fonksiyon), $h\longmapsto g_h$ kuralıyla tanımlanır.
-
$f$ verildiğinde $X_f$ nasıl tanımlanır?
-
$f\longmapsto X_f$ ve $X\longmapsto f_X$ işlemlerinin birbirinin tersi olduğunu gösterin.
-
Diğer her şeyden bağımsız olarak, yukarıdaki gibi kısa net bir dizi varsa $$G/H\simeq A$$ olduğunu gösteriniz. Bu bakış açısıyla yukarıdaki gibi bir $X$ kümesi almak demek $G/H$ koset uzayı için temsilciler kümesi seçmek demek.
-
$f$, yukarıdaki $(*)$ koşulunu sağlayan bir fonksiyon olsun. Eğer $f$ bir grup homomorfizmasıysa $$G\simeq A\oplus H$$grup izomorfizmasının doğru olduğunu, aradaki izomorfizmayı açık biçimde yazarak ispatlayın.
-
$G$ ve$ A\oplus H$ grupları izomorflarsa $H$'den $G$'ye $(*)$ şartını sağlayan bir $f$ homomorfizmasının varolduğunu ispatlayın.
Sorunun buraya kadar olan kısmı ikinci sınıf cebir dersi konularından ibaret. Şimdi bundan azıcık daha öteye gideceğiz.
-
$A\times X$ kümesinden $G$'ye tanımlanmış $$(a,x)\longmapsto ax$$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösterin.
-
Bir önceki soruda ispatladığınız savın Türkçe söylenişinin şu olduğu konusunda kendinizi ikna edin: $G$'nin her elemanı $A$'dan ve $X$'ten birer elemanın çarpımına eşittir ve bu elemanlar biriciktir. $g\in G$ elemanını bulmak için aldığımı $a\in A$ ve $x\in X$ elemanları değiştirirsek kesin olarak $g$'den başka bir eleman buluruz. (Bu soru formalizme aşina olmayan kişiler için. Soruyu anında yapamıyorsanız, bu soru sizin için demek, es geçmeyin.)
Şimdi $G$'nin elemanlarının $ax$ ($a\in A, x\in X$) biçiminde ifade edilebildiğini gördük. Peki bu şekilde ifadelerini bildiğimiz $g_1,g_2$ elemanları alsak, $g_1\cdot g_2$ elemanının bu biçimde ifadesi hakkında ne söyleyebiliriz? İşte sorunun bundan sonraki kısmı, bu konu üzerine yoğunlaşıyor.
-
$A$ değişmeli grubunu $i(A)$ ile özdeş görebiliriz, zira $i$ birebir bir homomorfizma. Sorunun başında verilen dizinin net olduğunu kullanarak $A$'nın $G$'nin normal bir altgrubu olduğunu ispatlayın.
-
$A$'nın normal olduğunu kullanarak her $a\in A$ ve $g\in X$ için $$g\cdot a=a^g\cdot g$$eşitliğini sağlayan biricik bir $a^g\in A$ elemanının var olduğunu ispatlayın.
-
Bir önceki kısmı kullanarak $H$ grubunun $A$ grubu üzerindeki etkisini şu şekilde tanımlayınız: Eğer $h\in H$ ve $a\in A$ ise $$h(a):=a^{g_h}$$olsun. Bu tanımla beraber $A$'nın bir $H$-modül yapısı kazandığını gösterin.
-
$A\times H$ kümesi üzerinde bir çarpma tanımlayacağız. Kural şu: $(a_1,h_1),(a_2,h_2)\in A\times H$ için $$(a_1,h_1)\cdot(a_2,h_2):=(a_1h_1(a_2),h_1h_2)$$Bu çarpmanın $A\times H$ kümesi üzerinde bir grup yapısı tarif ettiğini gösterin.
-
Bir önceki kısımda bulduğunuz grubun $G$ grubuna izomorf olduğunu gösterin.
Bu durumda $G$ grubu $A$ ile $H$'nin yarı-direk çarpımına eşit denir ve bu durum $$G\simeq A\rtimes H$$yazarak gösterilir. Bu tanım yeterince açık değil ama. Devamı için tıklayınız!