Her $n$ pozitif tamsayısı için $ b \geq n\ $ olacak şekilde bir $b$ sayısı bulabilir miyiz?
Aslında aşikar ve masum olarak oldukça net ancak amacım yapmaya çalıştığım kanıtın sağlıklı çalışıp çalışmadığını kontrol etmek
$Kanıt:$ Kabul edelim ki her $n$ pozitif tamsayıları için $ b \geq n\ $ olacak sekilde bir $b$ reel
sayısı mevcut olsun. $S$ kümesi pozitif tamsayıların kümesi olmak üzere
Kabulümüz gereği $S$ kümesi sınırlıdır ve en küçük alt sınıra sahiptir , bu sayı $C$ olsun. Tabi ki
üst sınırımız $C$ den daha küçük bir sayı üst sınır olamaz , şimdi şunu yazalım ;
$0<1$ , $C< C+1$ ve $C-1<C$.
olur. O zaman öyle bir $n$ pozitif tamsayısı alabiliriz ki ,
$C-1<n$.
buradan $C<n+1$ ve $n+1$ pozitif tamsayıdır. Böylece çelişki elde ederiz, varsayımımız $C$ sayısının $S$ kümesinin üst sınırı olduğunu söylüyor , yani bir üst sınır mevcut değildir.