birimli değişmeli bir halkada ispat

Question

R birimli değişmeli bir halka ve a,b ∈R olsun. buna göre (a)(b)=(ab) gösteriniz.

şimdi burada (a)(b) ⊂ (ab) gösterebildim ama diğer yönü nasıl gösterebiliriz.

Comments

burada tam gösterilmesi gereken şey nedir, tam anlamadım?  $(a)(b)=(ab)$ kapalı olduğunu mu söylüyor ? ....

---

R değişmeli halka olduğundan (a)= {ra+na| r eleman R ve n eleman Z) şeklinde tanımlıdır. Kapalılık değil. 

---

$S$ bos olmayan bir kume olsun. $<S>$ ya da $(S)$ notasyonlari $S$ kumesini iceren en kucuk ideal icin verilir. 

Genel de elemanlari yazilabilecek kadarsa $\{ \}$ notasyonu kadirilir. $<\{a\}>$ yerine $<a>$ yazilir.

---

Buradan da bakabilirsiniz:

https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(ring_theory)#Ideal_generated_by_a_set

---

bu arada $(a)=\{ar\;|\; r\in R\}$ diye veriliyor ve adı principial ideal diye geçiyor diye hatırlıyorum.

---

Birimli ve degismeli halkalarda evet. Degilse ne olur? Mesela

(1) $1\not \in R$ ve degismeli ise 

(2) $1\in R$ ama degismeli degil ise

---

R değişmeli halka olduğundan (a) idealini o şekilde tanımlıyoruz. 

---

Soruda birimli dendigindenAnil'in dedigi sekilde yazmak daha iyi olur.

Answer 1

y $\in$ (a)(b) olsun. bu takdirde y= $r_1$a$r_2$b olacak şekilde $r_1$,$r_2$ $\in$ R vardır. R değişmeli olduğundan y=$r_1$.$r_2$ ab yazabiliriz. Buradan $r_1$.$r_2$ =r dersek,  y=rab olur.

y $\in$ (ab)

tersine :

y $\in$ (ab)olsun. bu takdirde y= rab olacak şekilde r $\in$ R vardır. y=ra$1_r$b yazabiliriz. buradan 

y $\in$ (a)(b) olur.