Kosinüs teoremi ile ilgili bir soru

Question

ABC üçgen D noktası ABC üçgeninin iç bölgesinde m(ABC)=30 m(ADC)=60 |AD|=3 |DC|=8 ve |BC|=13  olduğuna göre |AB|=x kaç cm dir?

Ben bu soruda ABC ve ADC üçgenlerinde AC kenarı için kosinüs teoremi uyguladığımda iki x değeri buluyorum.Bunlardan hangisinin doğru değer olduğunu nasıl bulacağız?Kosinüs teoremi haricinde bir yol varsa paylaşırsanız çok sevinirim.

Comments

Çok detaylı incelemedim ama soruda bu iki değerden birini almasına mani olan bir koşul yok. İki değer de üçgen eşitsizliğini sağlıyor. $\widehat{A}$ açısının geniş olduğu verilebilirdi mesela.

---

$\widehat{A}$ zaten geniş olmalı. $ADC$ üçgeninde $C$ ‘den inilen dikmenin dışarıda olduğuna dikkat edelim. Şimdi $|AB|$ iki değeri de alabilir mi?

Answer 1

$\triangle{ADC}$'de $C$'den inilen dikmenin ayağı $Q$ olsun. ($Q\in [AD$) $|AQ|=1$ ve $|QC|=4\sqrt3$ bulunur. $\triangle{CQA}$'da pisagordan $|AC|=7$. $|BA|=x$ ve $\triangle{BAC}$'de kosinüs teoreminden $x^2+13^2-2\cdot x\cdot 13\cdot \cos30^\circ=49$. Bu denklemden $x=\{5\sqrt3, 8\sqrt{3}\}$ elde edilir. $m(\widehat{DAC})>90^\circ$ olduğundan $|BC|^2>|AB|^2+|AC|^2$ olmalıdır. Bu koşulu da $x=8\sqrt{3}$ sağlar.