Asagidakiler bu konsept hakkindaki genel bilgilerdir. Ispat icermiyor.
Riemann zeta fonksiyonu $\Re(s)>1$ olmak uzere $$\zeta(s)=\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$ olarak tanimlanir.
Riemann zeta fonksiyonu $\mathbb Z$ uzerindeki sonlu tip cebirlere de genisletilebilir. $R$ cebiri $\mathbb Z$ uzerinde sonlu tip bir cebir olsun. $M$ ideali $R$ icerisinde maksimal idealdir ancak ve ande $R/M$ kalan sinif halkasi bir cisimdir, bilinen bir teorem.
Eger $R$ cebiri $\mathbb Z$ uzerinde sonlu tip bir cebir ise $R$ cebirine bagli Zeta fonksiyonunu
$$\zeta_R(s)=\prod_{M} \frac{1}{1-|R/M|^{-s}}$$ olarak tanimlariz, buradaki carpim $M\subset R$ tarafindan uretiliyor ve $s$ bir karmasik sayi.
Eger $R=\mathbb Z$ ise maksimal idealler $p$ pozitif asal olmak uzere $p\mathbb Z$ formunda olur. Dolayisiyla $$\zeta_{\mathbb Z}(s)=\prod_{p } \frac{1}{1-|\mathbb Z/p\mathbb Z|^{-s}}=\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$$ olarak tanimlanir, buradaki carpma da pozitif asallar icin $p \in \mathbb Z$ tarafindan uretiliyor ve $s$ bir karmasik sayi.
$R=\mathbb Z[t]$ ya da $R=\mathbb F_p[T]$ halkalarini dusunerek yeni tip zeta fonksiyonlari da bulabiliriz.
$\overline{\mathbb F_q}$ uzerinde bir $V$ varyetesini alalim. $$\{\#V(\mathbb F_{q^n}) \ | \ n\in\mathbb Z^{+}\}$$ kumesinin elemanlarini anlamak icin $$Z_{V/\mathbb F_q}(T)=\exp\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{\#V(\mathbb F_{q^n})\cdot T^n}{n}\right)$$ formal kuvvet toplami ile ilgilenecegiz. Buradan $$\frac{d \ \ln Z_{V//\mathbb F_q}(T)}{d\ T}=\sum_{n=1}^\infty \#V(\mathbb F_{q^n})T^{n-1}$$ oldugunu goruruz. (Bu toplam yerine Zeta fonksiyonu ile ilgileniyor olmamizin sebebi Zeta fonksiyonunun guzel bir sekilde polinom bolmesi olarak yazilabiliyor olmasidir).
$\overline{\mathbb F_q}$ uzerinde cinsi(genus) $g$ olan "guzel !!" bir $C$ egrisi alalim. Bu durumda $$\zeta_{C/\mathbb F_q}(s)=\prod_{ P} \frac{1}{1-|\kappa(P)|^{-s}}$$ olur, burada carpim $C$ uzerindeki $\mathbb F_q$ noktalari tarafindan uretiliyor ve $\kappa(P)$ de $P$ noktasinin $C$ icerisindeki artik kalan cismi olarak tanimlaniyor.
Buradan $$\zeta_{C/\mathbb F_q}(s)=Z_
{C/\mathbb F_q}(q^{-s})$$ esitligini elde ederiz. (Bu da Zeta fonksiyonlarinin ilskisini verir ve tarihsel olarak Riemann zeta fonksiyonu ile alakasini gormus oluruz).
F. K. Schmidt $C$ icin Riemann-Roch teoremini ispatladi ve bir $L_{C/\mathbb F_q}(T)=1+c_1T+\ldots+c_{2g}T^{2g} \in \mathbb Z[T]$ polinomu icin $$Z_{C/\mathbb F_q}(T)=\frac{L_{C/\mathbb F_q}(T)}{(1-T)(1-qT)}$$ esitligini saglanacagini gosterdi.
$a_1,\ldots, a_{2g}$ karmasik sayilari $L_{C/\mathbb F_q}$ polinomunun simetrigi olan (reciprocal) polinomun kokleri olsun. Bu durumda $$L_{C/\mathbb F_q}(T)=\prod_{j=1}^{2g}(1-a_jT)$$ olarak yazilabilir. (Direkt koklerini degil de koklerin carpmaya gore terslerini almak islemleri daha guzellestiriyor. Ayrica simetri(reciprocal) polinom karakteristik polinoma denk geliyor. Weil de ispati karakteristik polinom uzerinden yaptmistir).
Sonlu $\mathbb F_q$ cismi uzerindeki egri $C$ icin Riemann hipotezi her $j\in \{1,\ldots,2g\}$ $$|a_j|=\sqrt q$$ esitliginin saglanmasidir. Bu da 1942 yilinda André Weil tarafindan ispatlanmistir. (SAdece Eliptik egriler icin ispati yine André Weil tarafindan daha once verilmisti, daha sonra genel halini ispatladi).
$C/\mathbb F_q$ egrisinin zeta fonsiyonu $$Z_{C/\mathbb F_q}(T)=q^{g-1}T^{2g-2}Z_{C/\mathbb F_q}\left(\frac{1}{qT}\right)$$ fonksiyonel esitligine sahiptir.
$C/\mathbb F_q$ egrisinin $L$-polinomunu $L_{C/\mathbb F_q}(T)=1+c_1T+\ldots+c_{2g}T^{2g}$ olarak yazalim. Ayni sekilde $C/\mathbb F_q$ egrisinin $L$-fonksiyonu da
$$L_{C/\mathbb F_q}(T)=q^gT^{2g}L_C/\mathbb F_q\left(\frac{1}{qT}\right)$$ fonksiyonel esitligine sahip olur. Bu bize $c_{2g}=q^g$ oldugunu ve her $0\le i\le g$ icin $$c_{2g-i}=q^{g-i}c_{i}$$ esitliginin saglandigini verir. Ayrica $c_1=\#C(\mathbb F_q)-(q+1)$ esitligi saglanir.
$C/\mathbb F_q$ egrisinin $L$-polinomu$\mathbb C[T]$ icerisinde su sekilde carpanlarina ayrilir: $$L_{C/\mathbb F_q}(T)=\prod_{j=1}^{2g}(1-a_jT)$$ burada $a_1,\ldots,a_{2g}$ karmasik sayilari $\mathbb Q$ uzerinde cebirseldir ve$i=1,\ldots,g$ icin $a_ia_{g+i}=q$ olacak sekilde siralanabilir.
$$Z_{C/\mathbb F_{q^r}}(T^r)=\prod_{\zeta^r=1}Z_{C/\mathbb F_q}(\zeta T)$$ esitligine sahibiz.
Dolayisiyla $\mathbb F_{q^r}$ uzerinde $C$ egrisinin $L$-polinomu $\mathbb F_{q}$ uzerinde $C$ egrisinin $L$-polinomundan elde edilebilir. Yani $$L_{C/\mathbb F_{q^r}}(T)=\prod_{j=1}^{2g}(1-a_j^rT)$$ saglanir, burada $a_j$'ler $L_{C/\mathbb {F}_q}$ polinomunun reciprocal kokleridir. Bu esitlik de bize her $n\ge 1$ icin $$\#C(\mathbb F_{q^n})=q^n+1-\sum_{i=0}^{2g}a_i^n $$ esitligini verir.
$S_n=\#C(\mathbb F_{q^n})-(q^n+1)$ olarak tanimlayalim. Bu durumda $$\frac{L_{C/\mathbb F_q}^\prime(T)}{L_{C/\mathbb F_q}(T)}=\sum_{r=1}^\infty S_rt^{r-1}$$ esitligi saglanir ve $i=1,\ldots,g$ icin $$i\cdot c_i=S_i\cdot c_0 + S_{i-1}c_1+\ldots+S_1\cdot c_{i-1}$$ esitliklerini elde ederiz.
Referanslar:
[1] Peter Roquette, The Riemann hypothesis in characteristic p, its origin and development
[2] Frans Oort, Norbert Schappachert, Early History of the Riemann Hypothesis in Positive Characteristic
[3] Henning Stichtenoth. Algebraic Function Fields and Codes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009. (Chapter 5)