Analitik Geometride köşelerinin koordinatları $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ , $C(x_3,y_3)$ olan $ABC$ üçgensel bölgesinin alanı?

Question

Analitik Geometride köşelerinin koordinatları $\text{A}(x_1,y_1)$, $\text{B}(x_2,y_2)$, $\text{C}(x_3,y_3)$, olan ABC üçgensel bölgesinin alanı

$\text{Alan}(ABC)=\dfrac{1}{2}\left|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-\left(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1\right)\right|$ ile bulunur teoremini kanıtlayınız.

Comments

Siz bu teoremi nasıl ispatlamaya calıstınız hangi yollar denediniz denemelerinizi ve açıklamalarınızı da yazarsanız daha çok yardım alabilirsiniz.

---

Pisagor matematik evi kanalinda mustafa yagcinin yaptigi bir ispatin videosu var.

Answer 1

Şeklin çizimini size bırakıyorum. Aslında ben çizimi yapabilsem daha iyi olurdu fakat ben çizim programlarını kullanmayı bilmiyorum.

Dik koordinat düzleminin birinci bölgesinde, köşeleri $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$ olan dar açılı (dik ya da geniş açılı olsa da fark etmez) bir üçgen çizelim. $A,B,C$ noktalarından $x-$ eksenine inilen dikmelerin ayakları sırası ile $A_1,B_1,C_1$ noktaları ve $y-$eksenine inilen dikmelerin ayakları da sırası ile $A_2,B_2,C_2$ olsun. 

Eğer $Alan(ABC)=S$ denirse;

$S=Alan(AA_1C_1C)+Alan(CC_1B_1B)-Alan(AA_1B_1B)$ olacaktır. Şimdi bu alan değerlerini koordinatlar cinsinden yazalım.

$S=\frac{(y_1+y_3)(x_3-x_1)}{2}+\frac{(y_3+y_2)(x_2-x_3)}{2}-\frac{(y_1+y_2)(x_2-x_1)}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_1x_1+y_3x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_3x_3+y_2x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_1x_1-y_2x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3-y_3x_1+y_3x_2-y_2x_3-y_1x_2+y_2x_1}{2}$

$S=\frac{y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2)}{2}$ olur. Elbette ki alan değeri  neğatif olamayacaktır.Dolayısıyla;

$2S=|y_1x_3+y_3x_2+y_2x_1-(y_3x_1+y_2x_3+y_1x_2|$ olur.

Answer 2

Üçgenin bir köşesini orijine öteleyerek de bir alan formülü verebiliriz. Örneğin $A$ noktasını orijine ötelersek üçgenin yeni köşe noktaları $$A'=(0,0)$$,   $$B'=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(a,b)$$   $$C'=(x_3-x_1,y_3-y_1)=(c,d)$$ olur. Bu durumda üçgenin $S$ alanı  $$S=\dfrac{1}{2}|ad-bc|$$ ile verilebilir. Aslında bu da $B'$ ve $C'$  vektörlerinin vektörel çarpımı olarak $$S=\dfrac{1}{2}\vec{B'}X\vec{C'}$$  ifade edilebilir.Açıklama ve ilgili soru

Bir köşeyi orijine taşıma bazı geometri problemlerinin çözülmesinde kolaylık sağlayabilir.

Answer 3

$$Alan(ABC)=\dfrac{1}{2} \left| \begin{matrix} x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{matrix} \right| $$  şeklinde ifade edersek bu formül akılda daha çok kalır. Bu determinant hesabıyla herhangi bir konveks çokgenin hatta konkav çokgenin alanı bulunabilir. Ancak konkav çokgende noktaların sırasına dikkat etmek gerekir; noktaların farklı sıralanışları farklı alanlar verebilir.

Comments

Noktaları, saatin tersi yönde (yukarıdan aşağı) yazarsak determinant pozitif çıkar.

Answer 4

$$Alan(n-gen)=\dfrac{1}{2}( \left| \begin{matrix} x_1& x_2\\ y_1& y_2\\ \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} x_2& x_3\\ y_2& y_3\\\end{matrix} \right|+...+\left| \begin{matrix} x_n& x_1\\ y_n& y_1\\ \end{matrix} \right|)$$  şeklinde bir genelleme verilebilir. Kanıtta üçgen için verilen formülü kullanmak yeterli sanırım; Sarrus açılımında bazı çarpanlar birbirini götürünce yukarıdaki eşitliğin kalması lazım.