Tanım: $X,Y\neq \emptyset$ kümeler, $f:X\rightarrow Y$ ve $g:Y\to X$ fonksiyonlar olmak üzere
$$g, f\text{'nin sol tersi}:\Leftrightarrow g\circ f=I_X$$
$$g, f\text{'nin sağ tersi}:\Leftrightarrow f\circ g=I_Y$$
Öncelikle bu tanımları bilmelisin. Bilmek yetmiyor. İçselleştirmen gerekiyor. İçselleştirebilmen için de yukarıdaki tanım içerisinde geçen fonksiyon, birim fonksiyon, bileşke fonksiyon, eşit fonksiyon kavramlarının tanımlarını bilmen gerekiyor. Öncelikle bu bilgilerini gözden geçir.
Sonra şu teoremleri hatırla.
Teorem: $X,Y\neq \emptyset$ kümeler ve $f:X\rightarrow Y$ fonksiyon olmak üzere
$$f, \text{ birebir} \Leftrightarrow \left(\exists g\in X^Y\right)\left(g\circ f=I_X\right)$$
$$f, \text{ örten}\Leftrightarrow \left(\exists g\in X^Y\right)\left(f\circ g=I_Y\right)$$
Hatta ispatlarını hazmederek yapmaya çalış.
Demek ki bir fonksiyonun sol tersinin olması için gerek ve yeter koşul o fonksiyonun birebir olması ve yine bir fonksiyonun sağ tersinin olması için gerek ve yeter koşul o fonksiyonun örten olması anlamına geliyormuş.Tüm bunları hatırladıktan sonra gelelim örneklere.
1) $f_1(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_1:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu ne birebir ne de örtendir. Dolayısıyla sağ tersi ve sol tersi yoktur.
2) $f_2(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_2:[0,\infty )\rightarrow\mathbb{R}$ fonksiyonu birebir fakat örten değildir. Dolayısıyla sol tersi vardır fakat sağ tersi yoktur.
$$g_2(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & , & x<0 \\ \sqrt{x} & , & x\geq 0 \end{array}\right.$$
kuralı ile verilen $$g_2:\mathbb{R}\rightarrow [0,\infty)$$
fonksiyonu $f_2$ fonksiyonunun bir sol tersi mi? Bakalım. Bunun için
$$g_2\circ f_2=I_{[0,\infty)}$$
olup olmadığına bakmalıyız. Önce eşit fonksiyon tanımını hatırlayalım.
Tanım: $f:X\rightarrow Y$ ve $g:Z\rightarrow T$ herhangi iki fonksiyon olmak üzere
$$f=g:\Leftrightarrow (X=Z)(Y=T)(x\in X\Rightarrow f(x)=g(x))$$
O halde şimdi ilk olarak bakmamız gereken $g_2\circ f_2$ ve $I_{[0,\infty)}$ fonksiyonlarının tanım kümeleri eşit mi? ve hedef kümeleri eşit mi?
$$\mathcal{D}_{g_2\circ f_2}=\mathcal{D}_{I_{[0,\infty)}}=[0,\infty)\ldots (1)$$
ve
$$\mathcal{T}_{g_2\circ f_2}=\mathcal{T}_{I_{[0,\infty)}}=[0,\infty)\ldots (2)$$
Tanım kümeleri eşit ve hedef kümeleri de eşit olduğundan son olarak kuralları eşit mi diye bakacağız yani
$$(\forall x\in [0,\infty))((g_2\circ f_2)(x)=I_{[0,\infty)}(x))$$
önermesi doğru mu değil mi?
$$x\in [0,\infty)\Rightarrow (g_2\circ f_2)(x)=g_2(f_2(x))\overset{?}=g_2(x^2)=\sqrt{x^2}=\mid x\mid\overset{?}=x=I_{[0,\infty)}(x)\ldots (3)$$
(Soru işareti koyduğum yerleri iyice anlamaya çalış.)
O halde $$(1),(2),(3)\Rightarrow g_2\circ f_2=I_{[0,\infty)}$$
elde edilir. Demek ki $g_2$ fonksiyonu $f_2$ fonksiyonunun bir sol tersiymiş.
Hepsi bu kadar. Benzer işleri 3. örnek için sen yapmaya çalış.
3) $f_3(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_3:\mathbb{R}\rightarrow[0,\infty )$ fonksiyonu örtendir fakat birebir değildir. Dolayısıyla sağ tersi vardır fakat sol tersi yoktur.
4) $f_4(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f_4:[0,\infty)\rightarrow [0,\infty )$ fonksiyonu hem birebirdir hem de örtendir. Dolayısıyla hem sol tersi hem de sağ tersi vardır.