Eşkenar üçgen sorusu

Question

Bir hayvanat bahçesinde ABC eşkenar üçgeni biçiminde kirpilerin yaşadığı bölgede ,[AB] kenarı boyunca kirpilerin yemlikleri ,[BC]kenarı boyunca su oluğu,[AC] kenarı boyunca da kirpilerin yuvaları bulunmaktadır.

Eskenar üçgenin bir kenar uzunluğu 30 metredir.

A noktasından 5 metre uzaktaki yuvada yer alan kirpi önce yemliğe sonra su oluğuna gittiğine göre yürüdüğü yol en az kaç metredir?

Kirpinin yuvasının yer aldığı noktaya D , [AB] kenarı üzerinde değişken bir E noktasından  [BC] kenarına indirdiğim dikme ayağına F dedim. Amaç |DE|+|EF|için minimum değere ulaşmak.|AE|=m için   AED  üçgeninde kosinüs teoreminden BEF üçgeninde ise 30 60 90 özel ucgeninden yararlanarak m cinsinden uzunluklar çıkardım.Fakat bu karışık ifadeden minimum değer için uygun m değerini bulamadım.

Comments

D nin AB kenarına göre yansıması olan D' noktasını düşün.

---

Yansımasını alma sebebiniz nedir?

---

D den  BC kenarında bir noktaya (önce AB kenarına uğrayıp) giden bir yolun uzunluğu, D' den  (AB kenarındaki aynı noktadan geçip) BC kenarındaki aynı noktaya giden yol ile aynı uzunluktadır. Bu yolu minimum yapmak çok kolay.

---

$D$ noktasından çıkılan dikmenin AB kenarını kestiği nokta E ise, E noktasından BC kenarına inilen dikmenin ayağı F ise $|DE|+|EF|$ toplamı ABC üçgeninin yüksekliği kadar olup minimumdır. Dolayısıyla istenen uzunluk $15\sqrt3$ metredir.

Zaten Doğan Hocamın belirtiği D noktasının AB kenarına göre simetriği olan D' noktasının EF dikmesi üzerinde olduğu görülebilir. Simetriden $|D'E|=|DE|$ olduğu açıktır.