Sanıyorum sen öğretmenini çözümünü iyi anlamamışsın.
$1+3+5+...+2n-1=n^2$ eşitliğine dikkat edersen toplama işlemine en küçük pozitif tek sayı olan $1$ den başlamış. Bu önemli. Ama her zaman $1$ den başlayacak diye bik kaide yok. Nitekim senin sorunda durum böyle.
İkincisi matematikte çift sayıları genel olarak $n\in N$ olmak üzere $2n,2n+2,2n+4,2n-2,...$ şeklinde gösterilir. Yani bir doğal sayının iki katı (daha geneli çift katı) daima çifttir. Çift sayıya çift sayı eklersen ya da çift sayı çıkarırsan daima çift olur. Sanıyorum burası anlaşıldı. Şimdi gelelim tek sayıların yazılışına. $2n$ çift ise $2n+1$ nedir? Tektir değil mi? keza $2n-1$ de tektir. İşte tek sayılarda genel olarak $2n+1,2n+3,2n+5,2n-1,2n-3,4n-1,6n+3,...$ gibi gösterilirler.
Herhangi bir tek sayı düşünelim. Mesela bu $7$ olsun. $7+2,7-2,7+4,...$ sayıları hep tekdir. Çünkü ardışık (yani birini izleyen,ard arda gelen) sayılar arasındaki fark daima $2$ dir. Eğer biz ilk (yani en küçük ) aldığımız tek sayıyı $x$ olarak kabul edersek bunun ardışıkları $x+2,x+4,x+6,x+,...$ şeklinde olur.
O halde sorumuza geçelim.
Birinci sayı :$x$
İkinci sayı :$x+2$
.... son sayımız (yani 15.sayı) kaç? bunu nasıl yazacağız? tek tek sayarak mı? Hayır.
Birinci sayı:$x=x+0.2$ olarak yazılabilir.
İkinci sayı :$x+2=x+1.2$,
Üçüncü sayı:$x+4=x+2.2$
Dördüncü sayı:$x+6=x+3.2$ şeklinde yazılırsa kaç sayı yazdığımız belli olur. $x$ 'e eklenen kısımlara dikkat $2$ nin $0,1,2,3,...$ katları şeklinde. O halde 15. sayı $x+14.2$ şeklinde olmalıdır. Mesela 2018. sayıyı yazsaydık ne yazmalıydık düşün bakalım.
$x+(x+1.2)+(x+2.2)+(x+3.2)+...+(x+14.2)=105$
$15x+2(1+2+3+...+14)=105$
$15x+2.\frac{14.15}{2}=105$
$15x+210=105$
$x=-7$ olur. Bu en küçük tek sayımız. En büyügünü ve isteneni bulursun artık.
Kolay gelsin.