Question

Sonsuz kümelerde denklikten bahsedilebilir mi? Tam sayılar ile doğal sayılar denk midir?

Comments

Sen bu soru ile ilgili ne düşündün rkaynak17?

---

Aklıma ilk gelen sayı doğrusunu ele almak oldu. Doğal sayılar bir ışın oluştururken tam sayılar bir doğru oluşturuyor lakin araştırmalarım sonucu bir kümeden diğer kümeye birebir ve örten fonksiyon tanımlanabilirse iki kümenin kordinalitesi eşittir diye bir tanım okudum.altındaki fonksiyon da şu 

1-1

2-(-1)

3-(2)

4-(-2)

.

.

.

Fakat burda sonsuz sayılabilir olarak mı ele alınmış bu konuda biraz kafam karışık.

---

Denklikten kastın ne onu biraz açman lazım. Eleman sayıları eşit manasında bir denklik mi kastediyorsun yoksa başka bir şey mi mesela?

---

Evet ,"Eleman sayıları esit midir?" manasında dedim.

---

Sonsuz kümeler için "eleman sayısı" kavramı sorunlu (sonsuz diye bir doğal sayı yok. Zaten sonsuzların hepsi de "aynı" değil-bu ilginç). 

O nedenle "denklik" "kardinalite " gibi kavramlar kullanılır. Şu soruyu cevaplamak gerekiyor:

Doğal sayılar ile tamsayılar arasında bir 1-1 eşleme kurulabilir mi?

Yorumda yazdığın fonksiyonun formülünü bulmak zor değil. 1-1 mi, örten mi onları cevaplandırmayı dene.

---

<p> Sonsuz bir küme yoktur. 
</p>

---

Neden oyle duşundün

alperdmyk? 

Answer 1

Evet, sonsuz kümeler için denklikten bahsedilebilir. Bu denklik aslında çok daha genel bir kavram, sadece kümelerle ilgili değil. Matematiksel her yapı için bir denklikten bahsedebilirsin. İki matematiksel yapı $A$ ve $B$ denktir eğer $f\circ g=id_B$ ve $g\circ f=id_A$ olacak şekilde $A$ ve $B$'nin yapısını koruyan $f:A\xrightarrow{}B$ ve $g:B\xrightarrow{}A$ fonksiyonları varsa. 

    $A$ ve $B$ birer kümeyse, kümeler sadece elemanları tarafından belirlendiği için, kümelerin yapısını koruyan dönüşümler bildiğimiz fonksiyonlardır. $f\circ g=id_B$ ve $g\circ f=id_A$ koşulları $f$ ve $g$'nin terslerinin de olması gerektiğini söylüyor. Yani iki küme arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulabilirsen bu iki kümeye denk(izomorf ya da eşyapılı) denir.

     Sonsuz kümelerin denklik sınıflarını çalışan Cantor, zamanında bilinmeyen ve kabul görmeyen sayılabilir ve sayılamaz sonsuzluk kavramları ile karşılaşmıştır.