Tanımı adım adım tekrar tekrar incelemenizi tavsiye ederim.
Amaç eşitlemek değil tabi. Limitin "tanımı itibariyle" ikisini birbirine bağlamaya çalışıyoruz. Fakat önemli bir nokta şudur. Analizde (ve matematiğin diğer branşlarında) her ne kadar semboller kullanılıyorsa da aslında kuvvetli bir muhakeme mevcuttur. Yani, kalkülüsteki gibi, bir uçtan başlayıp belirli prosedürleri uygulayıp sonuca ulaşmak şeklinde olmuyor. Belki bu yüzden anlayamıyor olabilirsiniz.
Bir diğer nokta... Siz başta bir pozitif $\varepsilon$ seçiyorsunuz ve buna uygun olan bir $\delta$'nın varlığını gösteriyorsunuz. Kabaca söylersek, $\delta$'yı $\varepsilon$'a bağlı olarak buluyor, bulmaya çalışıyorsunuz. Bunu genelde $\delta(\varepsilon)$ şeklinde belirtiyoruz.
Matematik Dünyası dergisinin ilgili sayılarını incelersen gerçekten çok ayrıntılı anlatımları bulabilirsin. Sanırım "Analiz" kapak konulu sayılar olmalı.