Hocam Metrik uzaylar sorusu bakar mısınız

Question

$(X,d)$ bir metrik uzay olsun. Her $x,y,z,t \in X$ için $|d(x, z) − d(y, t)| ≤ d(x, y) + d(z, t)$ olduğunu gösteriniz.

Comments

Sen bu soruda ne düşündün/denedin Matdelisi178?

---

Hocam metriğin üçgen eşitsizliği kuralını kullanacağız sanırım ama yapamadım

---

İlk önce mutlağı kaldır(-ınız) ve daha sonra eksili olanı sağa at. Bu şekilde üçgen eşitsizliğini kullanmayı dene.

Answer 1

d metrik olduğundan 

$d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \Rightarrow d(x,z)- d(y,z) \leq d(x,y) $ ...(1)

$d(y,z)\leq d(y,x)+ d(x,z) \Rightarrow -d(x,y)\leq d(x,z)-d(y,z)$  ...(2) 

(1) ve (2 ) eşitsilziklerinden

  $-d(x,y)\leq d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)=\left| d(x,z)-d(z,y)\right| \leq d(x,y)$ elde edilir. Bu eişitsilziği kulanarak diğer ifadeyi gösterebiliriz.

$ \left| d(x,z)- d(y,t)) \right| \leq d(x,y)+d(z,t)$ 

$ \left| d(x,z)-d(y,z)\right| \leq d(x,z) \Rightarrow -d(x,z) \leq d(x,z)-d(y,z) \leq d(x,z)$ ...(*)  

$ \left| d(y,z)-d(z,t) \right| \leq d(y,t) \Rightarrow -d(y,t)\leq d(y,z)- d(z,t) \leq d(y,t)$  ...(**) 

(* ) ve (** ) eşitsizliklerini taraf tarafa toplarsak

$-(d(x,z)+ d(y,t)) \leq d(x,y)-d(z,t) \leq d(x,z)+d(y,t)$  $\left|d(x,y)-d(z,t)\right| \leq d(x,z)+ d(y,t)$