Arşimet Özelliği'ni kanıtlayınız.

Question

Arşimet Özelliği: Her gerçel sayıdan büyük veya eşit bir doğal sayı vardır. Biçimsel olarak şöyle yazabiliriz:

$$(\forall x\in\mathbb{R})(\exists n\in\mathbb{N})(x\leq n)$$

Answer 1

Her $n\in\mathbb{N}$ için $n<x$ olduğunu varsayalım. Bu durumda $x,$ $\mathbb{N}$ kümesinin bir üst sınırı olur. $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin tamlık özelliği gereği boştan farklı $\mathbb{N}$ kümesinin bir supremumu vardır. $\sup\mathbb{N}=u(\in\mathbb{R})$ diyelim.  $\sup\mathbb{N}=u$ ise $u-1$ sayısı $\mathbb{N}$ kümesinin bir üst sınırı değildir. Bu yüzden $u-1<m$ olacak şekilde en az bir tane $m\in\mathbb{N}$ vardır. Buradan $u<m+1$ elde edilir. Bu ise $u$ sayısının $\mathbb{N}$ kümesinin bir üst sınırı olması ile çelişir.

Answer 2

Ben de şöyle düşündüm.

$x< 0$ ya da $x\in \mathbb N $ ise,  doğal sayılar kümesinin özelliği gereği ispat biter.

Eğer $\forall x\in \mathbb{R}$ için $x\leq n$ olacak şekilde en az bir $ n \in \mathbb N$ yoksa; o zaman $x$ sayısı doğal sayıların bir üst sınırıdır. Bu ise Doğal sayılar kümesinin üstten sınırlı olmayışı ile çelişir. Demek ki iddia doğrudur. 

Comments

Bu çözümde şu sorun var:

Biz, doğal sayıların (bir doğal sayı olan!) üst sınırı olmadığını biliyoruz.

Bu gerçek, bir reel sayının tüm doğal sayılardan büyük olmasını engellemiyor.

---

Hocam bu yorumunuzu anlayamadım. Hem doğal sayıların üstten sınırsız olduğunu (doğal sayı olan bir üst sınır olmadığını) söylüyorsunuz hem de bir reel sayının tüm doğal sayılardan büyük olmasını engellemediğini söylüyorsunuz. Yani doğal sayıların üstten sınırlı olduğunu ve üst sınırın (doğal sayı olmayan) bir reel sayı olduğunu söylüyorsunuz. Peki bu doğal sayıların üstten sınırlı olmadığı ile çelişmez mi? Sorun olarak gördüğünüz hususu tam olarak ne?

---

Sayın Mehmet Toktaş, bu soruda, reel sayıların  doğal sayıları içeren herhangi bir sıralı cisim olması yeterli olmadığı noktası önemli. Murad Özkoç onu vurgulamak istemiştir sanırım.

Doğal sayıları içeren (aslında bu da gereksiz, her sıralı cisim doğal sayıları içerir) her sıralı cisimde bu özellik doğru değil. Google da "non-archimedean ordered field" aranırsa örnekler çıkıyor. 

Reel sayıların  nasıl oluşturulduğunu veya tamlık (veya fazladan başka bir) özelliğinin var olduğunu kullanmak zorundayız. Nasıl oluşturulduğu biraz uzunca (ve birden çok şekli var) olduğundan genellikle tamlık özelliğini  kullanarak gösteriliyor. Bu soru ile ilişkili olarak öyle bir örneği içeren bir soru sordum.