Question

Üçüz asalların sonlu olduğunu gösteriniz. İlgili soru. 

Comments

Aralarında ikişer fark olan asallar. $3,5,7$ gibi. Sonlu sayıdalar mıymış? İlginç. Bu üçlüler sonsuz sayıda olsalardı yine de ilginç bir problem olurdu. İşin içinde asal sayı var sonuçta.

---

Üçüz asal sayılar mantık kurulduğunda sonlu olmalıdır. Örneğin 87-89-91 sayı üçlüsü asal üçüzdür zaten 0-100 arasında yalnızca 2 grup asal üçüz vardır (3-5-7) (87-89-91) bu sayılar ardışık olarak katlar şeklinde alındığında (örneğin 8989 ve 8991 gibi) aradaki farklar birbirini tamamlayacak her ne kadar 8989 asal olsa da 8991 3 sayısına bölünecek ve bu durum da bize asal üçlülerin sonlu olduğunu gösterecektir.

---

91 sayısı asal değil. Evet ortak farkı 2 olan ardışık 3 sayıdan biri 3 e bölünüyor.İlginç geliyor bana ikiz asalların sonlu olup olmadığını bilemiyoruz ama üçüz asallar sonlu hatta bir tane. 

---

madamatematik için düzeltme: $87,89,91$ üçüz asal olmaz. $91=7\cdot 13$ olup asal değildir. Öte taraftan çözümünüzü, sezgiye dayalı bir yorum olarak değerlendiriyorum. ''Açık bir ispat verildiği'' konusunda hemfikir değiliz maalesef.

---

Evet cevabınızı yoruma dönüştürmelisiniz. 

---

Hem de sadece bir tane var.

Answer 1

Üçüz asallarımız $p , p+2, p+4$ olsun. $p=3$ ise $3,5,7$ çözümünü elde ediyoruz. $p>3$ olsun. Bu halde ya $p=3k+1$ ya da $p=3k+2$ formundadır. ($k\in \mathbb Z^+$)

• Eğer $p=3k+1$ ise $p+2=3k+3=3(k+1)$ olup bileşik sayı elde edilir, çelişki.
• Eğer $p=3k+2$ ise $p+4=3k+6=3(k+2)$ olup bileşik sayı elde edilir, çelişki.

Dolayısıyla $p>3$ için çözüm yoktur. İspat tamamlanmıştır.

Comments

Butun asal sayilarin $p=3k+1$ veya $p=3k+2$ formunda oldugunu mu iddia ediyorsunuz? Bunun ayrica ispati gerekmez mi?

---

Bariz olduğunu düşünerek daha fazla açıklama yazmamıştım. Biraz daha ekleme yapalım:

Herhangi bir tam sayının $3$ ile bölümünden kalan $0,1,2$ den biri olabilir. $3$ ten büyük bir asal sayı için $3$ ile bölümünden kalanın $0$ olması imkansızdır. Çünkü böyle bir şey o sayının $3$ ile tam bölünmesi demektir. O halde $3$ ile bölümünden ya $1$ kalanı verecektir, ya da $2$ kalanı verecektir. Bunlar da $3k+1$ ya da $3k+2$ formunda olabileceğini gösterir.

Üstelik bu durum sadece $3$ e has değildir. Örneğin $6$ dan büyük tüm asal sayılar ya $6k+1$ ya da $6k+5$ formunda olmalıdır. $k\in \mathbb Z^+$ için $6k, 6k +2, 6k+3, 6k+4 $ biçiminde asal sayı olamaz. Çünkü bu sayılar sırasıyla $6,2,3,2$ ile tam bölünüyor.