$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=\dfrac {1}{1!}+\dfrac {1}{3!}+\ldots$ serisini hesaplamak için ilk önce aklıma "$e^x$"in seri açılımını kullanmak geldi uygulayınca;
$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1-\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{4!}-...$ şimdi ise buradaki -son yazdığım- seri ile ilgili $cos(x)$ açılımı gördüm. $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-1+\cos \left( 1\right) -1+( \dfrac {1}{4!}+\dfrac {1}{8!}+\ldots)$ ardından parantez içindeki öbeği ayrı incelemek için ona $-I(x)$ dedim.
$-I(x) = ( \dfrac {x}{4!}+\dfrac {x}{8!}+\ldots)$ eğer "$-I(x)$"i $4!$ ile çarparsak şu şekle dönüşür; $-4!I(x) = ( x+\dfrac {4!x}{8!}+\ldots)$ olur şimdi $x=1$ yazalım $4!I(1) = ( 1+\dfrac {4!}{8!}+\ldots)$ ve sona yaklaşırken bu fonksiyonda limit alırsak "sezgisel" olarak 1'den sonrasının 0'a yaklaşacağını görebiliriz.$-4!I(x)=1$ son hali olarak kalan durum böyle olur ve doğrudan $I(x)=-\dfrac{1}{4!}$'dir. Eğer en başa dönersek $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}-e=-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ düzenlersek; $\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{\left( 2n+1\right) !}=e-2+\cos \left( 1\right)-\dfrac{1}{4!}$ olarak buunur