Bir G grubundaki her bir a elemanı için a nın merkezleyecisi G nin bir alt grubudur.

Question

TANIM : G bir grup ve a∈G olmak üzere a elemanının merkezleyecisi M(a) ile gösterilir.

M(a)={g∈G: ag=ga} olarak tanımlanır.

Soruda verilen teoremde grubun merkezi olduğunu göstermekten yararlanabilirmiyim 

İlk olarak birim eleman aticam ve boştan farklı oldugunu gösterecem daha sonra alt grup aksiyomlarını yani kapalılık ve ters eleman özelliğini gösterecem bana yardımcı olabilirmisiniz.

Answer 1

İlk aksiyomdan başlayalım 

1)Her x,y ∈M(a) ve Her a∈G alalım.

i)Her x∈M(a) , a∈G için xa=ax

ii)Her y∈M(a) , a∈G için ya=ay

Tanımda verilen formata göre kapalı olduğunu göstermemiz gerekiyor.

Her a∈G için  (xy)a=x(ya)=x(ay)=y(ax)=y(xa)=a(yx) olduğundan dolayı her xy∈M(a) dır.

2) Her x∈M(a) , her a∈G için xa=ax tir.

 x'(xa)=(ax)x' yapalım

(x'x)a=(ax)x'

a=(ax)x' (her iki tarafı x' işleme sokalım)

x'a=(ax)x'x'

x'a=a(xx')x'

x'a=ax'

olduğundan x'∈M(a) dır.O halde M(a)<G dir.

Comments

2. adımda, herhalde x' ile x in tersi kastediliyor. 

Ama yapılan işlemlerde, iki kez, aynı hata yapılmış.

xa=ax oluşundan  x'(xa)=(ax)x' yazamayız. x' nün ax ile değişmeli olacağın nereden biliyoruz?

Ek: Eşitliğin iki tarafı aynı eleman ile çarpılırken aynı taraftan çarpmalısın.

Aynı durum 

a=(ax)x' (her iki tarafı x' işleme sokalım)

x'a=(ax)x'x'

satırında tekrarlanmış.

Onları düzeltmek (kolay) gerekir.

---

Teşekkür ederim yardımcı olurmusunuz ispatında?

---

$ax=xa$ eşitliğinin her iki tarafını $x^{-1}$ ile çarp.

---

Grubun değişmeli olduğu ile ilgili bir bilgi yok elemanların yerleri ile oynanmış grubun merkezinin değişmeli olduğunu kullanman gerek aksiyomlari sonuca göre düzenlenmesi sart

---

Bir eksk de şu: $M(a)$ nın boş olmadığının da gösterilmesi gerekir.  

Bu iki özellik $M(a)$ nın boş olmadığını göstermeye yetmiyor. 

Boş küme alt grup olmaz (çünki grup olmaz).

Answer 2

1.$e,\ G$ nin birim elemanı olsun. $ea=a=ae$ olduğu için $e\in M(a)$ olur. $M(a)\neq\emptyset$ dir. (Veya $a\in M(a)$ olduğu gösterilebilir)

2. $x,y\in M(a)$ olsun. Birleşme özelliği kullanarak

$(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)$ olduğu için $xy\in M(a)$ olur.

3. $x\in M(a)$ olsun. $ax=xa$ olduğu için bu eşitlikten $x^{-1}(ax)x^{-1}=x^{-1}(xa)x^{-1}$ olur.

Bu eşitlik, birleşme özelliği kullanarak

$x^{-1}a=ax^{-1}$ şekline gelir. Bu da $x^{-1}\in M(a)$ olduğu anlamına gelir.

(Başka bir yol da, (önce $M(a)\neq\emptyset$ olduğunu gösterip, sonra) $x,y\in M(a)$ ise $xy^{-1}\in M(a)$ olduğunu göstermektir.)

Answer 3

$C_G (x)$ tanıma göre öyle elemanlar içeriyor ki $g \in G$,$x$ ile yer değiştirebiliyor $gx=xg$.

Demekki, $C_G (x) \subseteq Z(G)$. Geçişkenlik özelliğinden $C_G (x)$ de altgrup.